3. Свойства функций, непрерывных на сегменте

В этом пункте мы дадим некоторые свойства непрерывных функций; при этом, как правило, ограничимся только формулировками и некоторыми пояснениями, не проводя доказательств.

Прежде всего введем следующее определение.

Определение. Функция называется непрерывной на сегменте , если она непрерывна во всех внутренних точках этого сегмента, а на концах сегмента, т. е. в точках а и b, непрерывна соответственно справа и слева

Рис. 117

Теорема 1. Если функция непрерывна на сегменте то она достигает на этом сегменте своего наибольшего и наименьшего значений.

Эта теорема утверждает, что на сегменте найдется такая точка что значение функции в этой точке будет наибольшим из всех значений функции на сегменте: Аналогично, на сегменте найдется такая точка в которой значение функции будет наименьшим из всех значений функции на сегменте: (рис. 117).

Замечание. Утверждение теоремы, вообще говоря, делается неверным, если заменить в формулировке теоремы сегмент интервалом (а, b). Так, например, функция непрерывная на интервале (0, 1), не достигает на этом интервале наибольшего значения. Она принимает значение сколь угодно близкое к 5, однако на интервале (0, 1) нет точки, в которой функция равнялась бы 5 (точка не принадлежит интервалу). Эта функция не принимает и наименьшего значения на интервале (0, 1). Точно так же заключение теоремы перестает быть, вообще говоря, справедливым, если функция, будучи определенной на сегменте, терпит разрыв в какой-либо точке сегмента.

Следствие из теоремы 1. Если функция непрерывна на сегменте , то она ограничена на этом сегменте.

Доказательство. Обозначим через Мат соответственно наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте . Тогда для любого принадлежащего сегменту, имеют место неравенства

Пусть С—наибольшее из чисел . Тогда . А это значит (см. § 1, п. 4), что функция ограничена на сегменте

Рис. 118

Рис. 119

Теорема 2. Если функция непрерывна на сегменте и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри этого сегмента найдется по крайней мере одна точка, в которой функция равна нулю.

Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если точки графика функции соответствующие концам сегмента , лежат по разные стороны от оси то этот график хотя бы в одной точке сегмента пересекает ось Для функции, график которой представлен на рис. 118, таких точек три:

Эта теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция непрерывна на сегменте

Тогда для любого числа С, заключенного между А и В, найдется внутри этого сегмента такая точка с, что

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции (рис. 119). Пусть . Тогда прямая где С — любое число, заключенное между А и В, пересечет график функции по крайней мере в одной точке.

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения.

Замечание. Если функция на сегменте имеет хотя бы одну точку разрыва, то утверждения теорем 2 и 3 перестают быть верными. Так, например, функция положительна при и отрицательна при . Однако на сегменте нет точки, в которой она обращается в нуль. Это объясняется тем, что на сегменте имеется точка разрыва функции (см. рис. 115).