8. Общие замечания о решении задач методом интегральных сумм

При решении вопросов, связанных с нахождением площади криволинейной трапеции, объема тела по поперечным сечениям, работы переменной силы, применялся один и тот же прием. Нахождение интересующей нас величины приводило к рассмотрению предела интегральной суммы. При этом во всех задачах искомая величина была связана с некоторым вполне определенным сегментом и некоторой функцией, заданной на этом сегменте. Так, например, в задаче о площади это было основание криволинейной трапеции и ордината кривой

Кроме того, искомая величина, которую мы обозначим через Q, обладала следующими двумя свойствами:

1. Свойство аддитивности. Разобьем сегмент на части Каждой из этих частей соответствует свое значение величины

Величину Q мы назовем аддитивной, если при любом разбиении сегмента на части имеет место равенство

Так, например, работа силы на всем пути равнялась сумме работ на отдельных участках (см. § 1, п. 2).

2, Свойство линейности в малом. Пусть произвольный малый сегмент, принадлежащий сегменту Мы предполагаем, что величина , соответствующая сегменту приблизительно пропорциональна его длине

Отношение мало отличается от числа в том смысле, что существует

Каждой точке соответствует свое значение k, т. е. k является функцией . Поэтому формулу (64) можно записать в следующем виде:

Покажем, что если искомая величина Q обладает свойствами 1 и 2, то ее нахождение сводится к вычислению определенного интеграла.

В самом деле, разбивая сегмент на малые части с длинами мы в силу аддитивности величины Q имеем:

На каждом малом сегменте длины величина Q в силу свойства линейности в малом приблизительно пропорциональна , т. е. согласно формуле (65)

Таким образом, для Q получаем следующее приближенное равенство

Выражение, стоящее в правой части равенства (66), является интегральной суммой для функции . В пределе при шаге разбиения К, стремящемся к нулю, получим точное значение :

Подынтегральное выражение дающее приближенное значение величины Q на сегменте от до называется элементом величины Q и обозначается через .

Если выражение для элемента найдено, то нет необходимости составлять интегральную сумму и переходить к пределу. Достаточно взять определенный интеграл от элемента

Рис. 196

Пример 1. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из конического сосуда, обращенного вершиной вниз и имеющего радиус основания и высоту

Решение. Работа, необходимая для поднятия тела веса на высоту равна . В нашей задаче дело осложняется тем, что отдельные слои воды находятся на различных глубинах и высота поднятия для различных слоев не одинакова. Поэтому с помощью плоскостей, параллельных основанию конуса, разобьем конический сосуд на тонких горизонтальных слоев толщины (рис. 196). Обозначим через работу, необходимую для поднятия слоя воды на поверхность. Тогда вся работа которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из сосуда, равна сумме элементарных работ

т. е. работа обладает свойством аддитивности.

Взяв достаточно малым, можно приближенно считать, что вся вода слоя находится одной и той же глубине . Работа приближенно равна произведению веса слоя воды на высоту поднятия

(68)

Для того чтобы найти вес вычисляем объем слоя. Учитывая, что , - мало, примем этот слой за цилиндр с высотой и радиусом основания Из подобия треугольников АЕВ и (см. рис. 196) находим Поэтому Так как удельный вес воды равен единице, то , - (при этом если длина измеряется в , то вес выразится в ). Подставляя найденное значение в формулу (68), получим

т. е. работа обладает свойством линейности в малом.

Вся работа

Это равенство будет тем точнее, чем меньше . В пределе при шаге разбиения получим точное равенство

Сумма (69) является интегральной суммой для функции Поэтому предел этой суммы равен определенному интегралу в границах от до . Итак,

Пример 2. Пусть точка движется прямолинейно со скоростью v, являющейся заданной функцией времени Найти путь, пройденный точкой за промежуток времени от момента до момента

Решение. Рассмотрим момент времени t и близкий к нему момент Считая, что в течение малого промежутка времени скорость движения v не изменяется и равна скорости в момент времени t, найдем элемент пути пройденный за время Пусть s обладает свойством аддитивности.

Поэтому взяв интеграл от элемента пути, получим искомый путь