3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо ее фиксированной точки и вектора s, параллельного этой прямой. Вектор s, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой, а его проекции на координатные оси — направляющими коэффициентами прямой.

Рис. 86

Пусть прямая L задана ее точкой и направляющим вектором имеющим направляющие коэффициенты .

Рассмотрим произвольную точку на прямой. Из рис. 86 непосредственно получаем

Вектор , лежащий на прямой L, параллелен направляющему вектору s, поэтому (см. гл. III, § 3, п. 2)

где скалярный множитель называемый параметром, может принимать любое значение в зависимости от положения точки М на прямой. Обозначая радиусы-векторы точек и М соответственно через и принимая во внимание формулу (14), запишем уравнение (13) в виде

Уравнение (15) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.

Представим уравнение (15) в координатной форме. Замечая, что

получим

Уравнения (16) называются параметрическими уравнениями прямой. При изменении параметра t изменяются координаты и точка перемещается по прямой.