2. Линейные операции над векторами

Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторов.

Пусть а и - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор О А — а. После этого из точки А отложим вектор

Рис. 59

Вектор ОВ, соединяющий начало первого слагаемого вектора скопцом второго, называется суммой этих векторов и обозначается (рис. 59).

Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом. Отложим от точки О вектор ОА — а и вектор . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОABC. Вектор ОВ, являющийся диагональю параллелограмма, проведенной из вершины О, будет, очевидно, суммой векторов а (см. рис. 59).

Из рис. 59 непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством:

Действительно, каждый из векторов равен одному и тому же вектору ОВ.

Понятие суммы векторов, введенное для двух слагаемых векторов, можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых.

Пусть, например, даны три вектора а, b и с. Построим сначала сумму векторов затем к этой сумме прибавим вектор с, получим вектор . На рис. 60 .

Из рис. 60 видно, что тот же вектор ОС мы получим, если к вектору а прибавим вектор . Таким образом

Поэтому сумму трех векторов записывают просто . Как видно из рис. 60, ее можно получить следующим образом. Из произвольной точки О откладывается вектор, равный первому слагаемому вектору.

Рис. 60

К концу первого вектора присоединяется начало второго, к концу второго — начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов. Подобным же образом строится сумма любого конечного числа векторов.

Как было указано выше, сумма векторов обладает переместительным и сочетательным свойствами:

Если при сложении нескольких векторов конец последнего слагаемого вектора совпадает с началом первого, то сумма векторов равна нуль-вектору.

Разность векторов.

Разностью двух векторов a и b называется третий вектор сумма которого с вычитаемым вектором b дает вектор а.

Таким образом, если , то . Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис. 61). Откладываем векторы и из общей точки О. Вектор ВЛ, соединяющий концы уменьшаемого вектора а и вычитаемого вектора b и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, будет разностью . Действительно, по правилу сложения векторов ОВ или .

Если на векторах а и b, отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор ОС, совпадающий с одной диагональю параллелограмма, равен сумме вектор , совпадающий с другой диагональю, равен разности (рис. 62).

Пример. Как должны быть расположены векторы а и b, чтобы модуль их суммы был равен модулю их разности ?

Решение. Очевидно, для этого длина диагонали ОС параллелограмма должна равняться длине диагонали ВА (рис. 62). Это может быть только в том случае, если параллелограмм ОАСВ является прямоугольником. Следовательно, если

Умножение вектора на число.

Пусть даны вектор а и число .

Произведением вектора а на число называется новый вектор с, коллинеарный вектору а, имеющий длину и то же направление, что и вектор а, если и противоположное направление, если

Рис. 61

Рис. 62

Так, например, у а есть вектор, направленный в ту же сторону, что и вектор а, и имеющий длину, вдвое меньшую, чем вектор а.

Противоположный вектор — а можно рассматривать как результат умножения вектора а на

Рис. 63

Из определения умножения вектора на число следует, что если то векторы b и а коллинеарны. Очевидно и обратно, из коллинеарности векторов b и а следует, что

Произведение вектора а на число можно записывать как в виде -а, так и в виде .

Легко убедиться, что умножение вектора на число обладает распределительным свойством

и сочетательным свойством

Справедливость, например, первого свойства (42) для следует из того, что при изменении сторон параллелограмма в раз его диагонали также изменяются в раз (рис. 63).

Единичный вектор.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Пусть дан вектор а. Рассмотрим вектор, коллииеарный вектору а, одинаково с ним направленный, но имеющий длину, равную единице. Обозначим этот вектор через тогда

Из определения умножения вектора на число следует

Каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления.

Равенство (44) будет неоднократно использоваться в дальнейшем.

3. Угол между двумя векторами

Пусть в пространстве даны два вектора а и b. Отложим от произвольной точки О векторы и . Углом между векторами ) называется наименьший угол на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым .

Рис. 64

Рис. 65

Рассмотрим ось положительное направление которой совпадает с направлением единичного вектора расположенного на оси. Под углом между вектором а и осью понимают угол между векторами а и 1° (рис. 64).