4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции

Рассмотрим функцию непрерывную на сегменте . Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо на границе сегмента, либо внутри него (гл. V, § 2, п. 3). Если наибольшее (или наименьшее) значение функции достигается во внутренней точке с сегмента, то это значение является максимумом (или минимумом) функции, так как неравенство имеющее место для всех точек сегмента выполняется и для любой окрестности точки с, лежащей внутри сегмента (см. рис. 150).

Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на сегменте

1. Находим все критические точки функции в интервале и вычисляем в них значение функции.

2. Вычисляем значения функции на концах сегмента в точках

3. Из всех этих значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Замечание. Очевидно, если непрерывная на сегменте функция имеет во внутренней точке этого сегмента только один экстремум, то в этой точке она имеет наибольшее значение в случае максимума и наименьшее в случае минимума.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте

Решение. 1. Находим все критические точки функции на интервале

Вычисляем значения функции в этих точках:

2. Вычисляем значения функции на концах сегмента:

Таким образом, наибольшее значение функции достигается на правом конце сегмента. Наименьшее значение функции уиаим и достигается в точке