2. Вычисление кривизны

Пусть кривая задана уравнением в котором функция дважды дифференцируема в интервале (а, b), т. е. имеет в каждой точке этого интервала первую и вторую производные. Вычислим кривизну этой кривой в точке М, имеющей абсциссу (рис. 200).

Рис. 200

Рассмотрим на данной кривой вторую точку с абсциссой Проведем в точках М и касательные к кривой и обозначим их углы с осью соответственно через а и . Тогда угол смежности . Средняя кривизна дуги

где - длина дуги .

Если точка перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М, то

Следовательно, кривизна кривой в точке М

Разделив числитель и знаменатель на получим

Согласно геометрическому смыслу производной откуда (если ) или (если )

В обоих случаях

Кроме того, (см. формулу ). Подставляа эти выражения для и в формулу (74), получим

Итак, получена следующая формула для вычисления кривизны кривой:

(75)

Пример 1 Найти кривизну гиперболы в точке с абсциссой

Решение. Последовательно находим: По формуле (75) имеем

Следовательно, при имеем

Выведем формулу для вычисления кривизны кривой заданной параметрическими уравнениями

предполагая функции дважды дифференцируемыми.

Тогда (см. гл. VI, § 4, п. 2, формулы (78) и (79):

Подставляя выражения для в формулу (75), получим после упрощений

Пример 2. Найти кривизну циклоиды .

Решение. Последовательно находим: .

Подставляя эти выражения в формулу (76), получим