4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Наряду с декартовыми координатами часто применяются цилиндрические координаты. Рассмотрим точку М в системе координат . Пусть - проекция точки М на плоскость Положение точки М в пространстве можно определить, задав полярные координаты точки N в плоскости и аппликату точки М (рис. 250).

Рис. 250

Рис. 251

Эти три числа и z называются цилиндрическими координатами точки М. Цилиндрические координаты точки связаны с декартовыми координатами следующими соотношениями:

В декартовой системе координат точка с координатами является точкой пересечения плоскостей . В цилиндрической системе координат точка является пересечением следующих трех поверхностей: (рис. 251).

Первому уравнению очевидно, соответствует в пространстве прямой круговой цилиндр радиуса образующие которого параллельны оси (ось цилиндра). Заметим, что при цилиндр вырождается в ось Oz. Уравнению соответствует полуплоскость, проходящая через ось и составляющая с плоскостью угол Уравнению соответствует плоскость, параллельная плоскости и пересекающая ось в точке с аппликатой Таким образом, мы имеем три семейства поверхностей , называемых координатными поверхностями.

Уравнению соответствует в пространстве некоторая поверхность. Если вместо х, у и z подставить их выражения через цилиндрические координаты по формулам (34), то мы получим уравнение поверхности в цилиндрических координатах

Вычисление тройного интеграла часто сильно упрощается при переходе от декартовых координат к цилиндрическим. Пусть требуется вычислить тройной интеграл по области V пространства .

Рис. 252

Как мы знаем, имеет место следующая формула (33):

где — область плоскости являющаяся проекцией тела — аппликаты входа и выхода. Допустим, что область а такова, что двойной интеграл по этой области легче вычислить в полярных координатах. Тогда формулу (33) можно записать в таком виде:

Применяя для вычисления двойного интеграла, стоящего в правой части последнего равенства, правила вычисления двойного интеграла в полярных координатах, получим

где

Это и есть формула для вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах.

Пример. Определить массу прямого кругового цилиндра V высоты Н и радиуса R, если плотность у в любой его точке равна расстоянию от этой точки до оси цилиндра: .

Решение. Выберем систему координат, как указано на рис. 252.

Масса цилиндра V равна тройному интегралу от плотности :

где областью интегрирования является цилиндр V. Вычислим этот интеграл в цилиндрических координатах. Проекцией цилиндра на плоскость является круг радиуса R с центром в начале координат.

Применяя формулу (33), получим:

Итак, искомая масса