§ 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. Сфера

В § 1 п. 1 было выведено уравнение сферы (2)

с центром в точке и радиусом R.

Раскрыв скобки и перенеся все члены в левую часть уравнения получим

Это уравнение второй степени относительно текущих координат х, у и z. В нем отсутствуют члены с произведениями координат, а коэффициенты при равны между собой. Любое уравнение второй степени относительно х, у и z, в котором коэффициенты при равны между собой, а член с произведением координат отсутствует, есть, вообще говоря, уравнение сферы. Точнее, такое уравнение с помощью выделения полных квадратов всегда может быть приведено к виду

Если при этом то уравнение (38) является уравнением сферы с центром в точке и радиусом При уравнению удовлетворяют координаты лишь одной точки . Если же , то уравнение не определяет никакой поверхности.

Пример. Доказать, что уравнение является уравнением сферы и найти центр и радиус этой сферы. Решение. Преобразуя левую часть данного уравнения, получим

или

Мы получили уравнение сферы с центром в точке и радиусом .