ГЛАВА V. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

1. Предел функции

Возьмем функцию Составим таблицу значений этой функции и построим ее график (рис. 103):

Рассматривая таблицу и график, можно предположить, что с возрастанием аргумента наша функция неограниченно приближается к числу 2, или, как говорят, имеет при стремящемся к плюс бесконечности пределом число 2.

Рис. 103

Пусть точка графика функции Найдем расстояние d от точки М до прямой

Тот факт, что при функция имеет пределом число 2, означает, что расстояние d от точки графика функции до прямой может быть сделано меньше любого наперед заданного положительного числа для достаточно больших значений

Так, например,

и вообще, если , то

Дадим теперь точное определение предела функции при предполагая при этом, что функция определена или на всей числовой оси, или для всех больших некоторого числа.

Определение. Число b называется пределом функции при если, каково бы ни было положительное число в, можно найти такое число N, что для всех больших N, выполняется неравенство

Иными словами, если функция имеет число b своим пределом (при ), то при неограниченном возрастании аргумента значения этой функции сколь угодно мало отличаются от числа b, т. е. разность между значением функции и числом b становится сколь угодно близкой к нулю.

То, что функция имеет число b своим пределом при записывается следующим образом: . Это читается так: «предел от х при стремящемся к плюс бесконечности, равен b». Таким образом, возвращаясь к нашему примеру, имеем:

Рассмотрим примеры.

Пример Доказать, что

Решение. Зададим произвольное положительное число и рассмотрим абсолютную величину разности где

Для того чтобы эта разность была меньше , т. е. чтобы выполнялось неравенство

достаточно, чтобы Так как мы рассматриваем предел функции при то можно считать положительным. Поэтому неравенство (2) выполняется для всех . В данном случае указанное в определении предела число N равно

Итак, для любого найдено такое число что для всех выполняется неравенство . А это значит, что . График функции у — для положительных значений аргумента изображен на рис. 104.

Пример 2. Доказать, что

Решение. Задаем Имеем

так как Для того чтобы выполнялось неравенство достаточно чтобы Так как то можно считать положительным и, следовательно, Последнее неравенство выполняется для всех Итак, для любого найдено такое число что для всех выполняется неравенство

Рис. 104

Рис. 105

Тем самым мы показали, что График рассмотренной функции приведен на рис. 105.

Пример 3. Функция не имеет предела при Значения этой функции при все время колеблются между

Из определения предела вытекает, что постоянная функция имеет при предел, равный А, так как неравенство при произвольном выполняется для всех (здесь N может быть любым числом).

Рассмотренные выше примеры показывают, что функция может стремиться к пределу (если он существует), оставаясь все время меньше его, как, например, функция (см. рис. 103), или больше его, как функция (см. рис. 104), и, наконец, может колебаться около него, как, например, функция -(см. рис. 105).

Установим геометрический смысл предела функции при Как мы знаем, если функция имеет пределом число , то это значит, что для любого найдется такое N, что для всех выполняется неравенство На основании свойств абсолютных величин (см. гл. I, § 1, п. 3) это неравенство равносильно следующим неравенствам:

или

Неравенства (3) показывают, что ординаты всех точек графика функции абсциссы которых превосходят число N, заключены между числами .

Рис. 106

А это значит, что график функции для всех превосходящих число N, содержится в полосе, ограниченной прямыми (рис. 106, а). Число N, фигурирующее в определении предела, вообще говоря, зависит от е. Чем меньше , т. е. чем уже полоса между прямыми тем большим будет