9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов
Пусть даны два вектора

В таком случае

При раскрытии скобок мы воспользовались распределительным свойством скалярного произведения.
Заметив теперь, что

как скалярные квадраты единичных векторов и что

как скалярные произведения взаимно перпендикулярных векторов, для скалярного произведения двух векторов получаем окончательную формулу:

Скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений их одноименных проекций.
Выше мы имели условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов а и
. На основании формулы (69) условие перпендикулярности двух векторов принимает вид

Для того чтобы два вектора были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы сумма парных произведений их одноименных проекций равнялась нулю.
Пример. При каком значении
вектор
перпендикулярен вектору 
Решение. Из условия (70) перпендикулярности векторов имеем

откуда 