9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов

Пусть даны два вектора

В таком случае

При раскрытии скобок мы воспользовались распределительным свойством скалярного произведения.

Заметив теперь, что

как скалярные квадраты единичных векторов и что

как скалярные произведения взаимно перпендикулярных векторов, для скалярного произведения двух векторов получаем окончательную формулу:

Скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений их одноименных проекций.

Выше мы имели условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов а и . На основании формулы (69) условие перпендикулярности двух векторов принимает вид

Для того чтобы два вектора были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы сумма парных произведений их одноименных проекций равнялась нулю.

Пример. При каком значении вектор перпендикулярен вектору

Решение. Из условия (70) перпендикулярности векторов имеем

откуда