2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Кроме рассмотренного метода интегрирования нормальной системы уравнений, мы укажем сейчас еще один метод, применимый только к нормальным системам линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть дана нормальная систем» линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для простоты ограничимся системой трех уравнений с тремя неизвестными функциями

Будем искать часгное решение этой системы в виде

Мы должны определить коэффициенты и показатель степени k так, чтобы функции (100) были решением системы (99). Подставляя эти функции в систему (99) и сокращая на множитель , получим

Перенося все члены в одну сторону, получим следующую систему алгебраических уравнений относительно неизвестных :

Система (101), является однородной, системой уравнений. Как известно (см. гл. III, § 2, п. 4), для того чтобы однородная система имела отличные от нуля решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы; равнялся нулю. Таким образом, для того чтобы система (101) имела отличные от нуля решения, должно иметь место равенство

Равенство (102) представляет собой уравнение третьей степени относительно k и называется характеристическим уравнением для системы (99). Ограничимся случаем, когда характеристическое уравнение имеет различные действительные корни . Для каждого из этих корней напишем соответствующую, систему уравнений (101) и определим коэффициенты . Если обозначить частные решения системы, соответствующие корню характеристического уравнения через соответствующие корню - через и корню -через то, как можно показать, общее решение системы дифференциальных уравнений (99) запишется в виде

или в виде

Пример. Найти общее решение системы

Решение. Характеристическое уравнение (102), соответствующее данной системе дифференциальных уравнений, имеет вид

или . Его корни . Частные решения системы будем искать в виде

Система уравнений (101) для определения при имеет вид

Эта система имеет бесчисленное множество решений, так как второе уравнение есть следствие первого. Полагая, например находим . Итак, корню характеристического уравнения соответствуют частные решения

Система уравнений (101) для определения при имеет вид

В качестве решений этой системы можно взять . Тогда корню характеристического уравнения соответствуют частные решения .

Общее решение данной системы согласно формуле (103), запишется в виде:

Если среди корней характеристического уравнения (102) имеются комплексные, то соответствующие им частные решения преобразуются по формулам Эйлера подобно тому, как это делалось для одного линейного уравнения (см. § 4, п. 1).