2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции

В гл. V (§ 2, п. 1) было дано определение непрерывности функции, согласно которому функция называется непрерывной в точке если

При этом предполагалось, что функция определена в точке и некоторой ее окрестности.

Это определение можно сформулировать, пользуясь понятиями приращения функции и приращения аргумента. Действительно, формула (5), очевидно, равносильна равенству

Полагая и замечая, что при обратно, при вместо соотношения (5) мы получим следующую формулу, равносильную формуле (5):

Иными словами, функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции

Замечание. Если в точке функция терпит разрыв, то при либо стремится к пределу, отличному от нуля, либо имеет предела.