Главная > Математика > Краткий курс высшей математики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

§ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ

1. Понятие действительного числа

В настоящем курсе нам все время придется иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, которые мы считаем известными читателю из курса математики средней школы. Множество действительных чисел состоит из всех рациональных и всех иррациональных чисел. Рациональным числом называется число вида где — целые числа, причем . В частности, всякое целое число может быть представлено в виде и, следовательно, является рациональным числом. Иррациональным числом называется действительное число, которое нельзя представить в виде отношения двух целых чисел.

К необходимости введения понятия иррационального числа приводит рассмотрение многих задач, в частности — задачи измерения длин некоторых отрезков (например, длины диагонали квадрата со стороной, равной единице). Как известно, всякое рациональное число

— либо является целым, либо представляется конечной или периодической бесконечной десятичной дробью. Иррациональное же число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью.

Например, рациональные числа и представляются следующими десятичными дробями:

Иррациональные числа представляются непериодическими бесконечными десятичными дробями:

Запись действительных чисел с помощью десятичных дробей позволяет каждое иррациональное число заменить близким к нему рациональным числом. Это близкое рациональное число называется рациональным приближением данного иррационального числа. В качестве рационального приближения берут конечную десятичную дробь, у которой первые цифр после запятой совпадают с первыми цифрами после запятой данного иррационального числа, а все остальные цифры заменены нулями. Ошибка при этой замене не превосходит, очевидно, у. Так, например, рациональным приближением числа отличающимся от него не более, чем на будет рациональное число В инженерных расчетах арифметические действия над иррациональными числами заменяются соответствующими действиями над их рациональными приближениями.

Заметим, что практически для получения приближенного результата достаточно во всех вычислениях брать на один знак больше, чем требуется, а затем округлить полученный результат до нужного числа знаков. Например, при вычислении суммы с точностью до 0,01 получим

Подробное изложение теории действительных чисел читатель найдет, например, в курсе дифференциального и интегрального исчисления Г. М. Фихтенгольца (т. I, гл. I).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление