4. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции

Определение. Функция называется бесконечно малой при если ее предел при равен нулю. Аналогично определяются бесконечно малые функции при Так как для бесконечно малой функции предел то на основании понятия предела, например при можно дать следующее определение бесконечно - малой функции, равносильное только что данному.

Определение.

Функция называется бесконечно малой (при ), если, каково бы ни было можно найти такое число N, что для всех выполняется неравенство

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Покажем, что функция является бесконечно малой при Для этого надо показать, что ее предел 6-0 при т. е. что для любого можно найти такое N, что для выполняется неравенство (4):

Но это неравенство осуществляется при

Вообще, можно доказать, что функция (где а — любое положительное число) бесконечно малая при

Пример 2. Функция является бесконечно малой при Задаем Неравенство очевидно, выполняется для всех тех значений аргумента для которых Таким образом, неравенство выполняется для всех лежащих между . А это значит (см. стр. 167), что , т. е. функция бесконечно малая при

Вообще, можно показать, что функция , где бесконечно малая при

Пример 3. Функция не является бесконечно малой при , так как

Докажем теперь несколько теорем о бесконечно малых функциях. Для определенности все формулировки и доказательства теорем будем проводить для случая бесконечно малых функций при , так как для всех остальных случаев формулировки и доказательства аналогичны. Рекомендуем читателю самостоятельно сформулировать и доказать эти теоремы для

Теорема 1. Если функции являются бесконечно малыми функциями (при ), то и их сумма также является бесконечно малой функцией (при ).

Доказательство. Пусть . Докажем, что , т. е. установим, что для любого найдется такое число N, что для всех имеет место неравенство (4)

Если такое N найдется (для произвольного, заранее заданного , то из этого будет следовать, что

Итак, возьмем произвольное . Так как по условию является бесконечно малой функцией, то для положительного числа у найдется такое число что при выполняется неравенство

Аналогично, для того же числа найдется такое число что при выполняется неравенство

Пусть N — наибольшее из чисел . Тогда для выполняются одновременно оба неравенства (5) и (6). Но тогда для всех имеет место соотношение

Таким образом, для всех , а это значит, что функция является бесконечно малой функцией при

Эта теорема может быть легко обобщена на любое конечное число бесконечно малых функций. Кратко ее читают так: сумма нескольких бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Пример 4. Функция является бесконечно малой функцией при так как каждое слагаемое есть бесконечно малая функция при (см. пример 1).

Пример 5. Функция есть бесконечно малая функция при , так как функции бесконечно малые при (см. пример 2).

Прежде чем переходить к дальнейшим теоремам о бесконечно малых функциях, введем понятие ограниченной функции.

Определение. Функция называется ограниченной некотором множестве значений аргумента если существует такое положительное число С, что для всех из этого множества выполняется неравенство Таким множеством может быть, например, интервал, сегмент или даже вся числовая прямая. Рассмотрим примеры.

Пример 6. Функции ограничены на всей числовой прямой, так как для любого значения имеем:

Пример 7. Функция ограничена на сегменте [0; 3], так как для всех принадлежащих этому сегменту, имеет место неравенство

Пример 8. Функция не является ограниченной на интервале (0; 1), так как нельзя указать такое число С, чтобы для всех из интервала (0; 1) выполнялось неравенство - .

Следующие две теоремы устанавливают связь между понятиями ограниченной функции и функции, имеющей предел. Для определенности рассмотрим случай предела функции при

Теорема 2. Если функция имеет предел при , то она ограничена на некотором бесконечном интервале

Доказательство. Пусть Тогда, на основании определения предела, для можно найти такое число N, что для всех выполняется неравенство . Так как по свойству абсолютных величин , то откуда . А это и означает, что функция ограничена на бесконечном интервале

Замечание. Функцию, ограниченную на бесконечном интервале будем называть ограниченной при

Следствие. Бесконечно малая функция (при ) ограничена (при ).

Докажем теперь следующую теорему.

Теорема 3. Если функция имеет предел, отличный от нуля (при ), то функция ограничена (на некотором бесконечном интервале).

Доказательство. Пусть где . Пусть дано положительное число . На основании определения предела найдется такое число N, что для всех имеет место неравенство

Так как , то . Следовательно,

Таким образом, теорема доказана.

Теорема 4. Произведение бесконечно малой функции (при ) на функцию ограниченную (при ) является функцией бесконечно малой.

Доказательство. Пусть - ограниченная функция на бесконечном интервале Следовательно, существует такое число что для всех выполняется неравенства

Пусть, далее, — бесконечно малая функция при Покажем, что произведение есть бесконечно малая функция при

В самом деле, так как — бесконечно малая функция, то для любого найдется такое число что при имеет место неравенство

Пусть - наибольшее из чисел и . Тогда для одновременно выполняются неравенства (7) и (8). Следовательно, для всех

т.е. бесконечно малая функция.

Пример 8. Функция является бесконечно малой при так как она является произведением ограниченной функции на бесконечно малую (при ) функцию

Пример 9. Функция является бесконечно малой при так как она является произведением ограниченной функции на функцию бесконечно малую при .

Следствие 1. Так как всякая бесконечно малая функция ограничена, то из только что доказанной теоремы вытекает, что произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение бесконечно малой функции на число есть функция бесконечно малая.

Теорема 5. Частное от деления функции бесконечно малой при на функцию предел которой (при ) отличен от нуля, является функцией бесконечно малой.

Доказательство. Функция может быть представлена в виде произведения бесконечно малой функции на ограниченную функцию (ограниченность функции следует из теоремы 3).

Но тогда из теоремы 4 вытекает, что частное является бесконечно малой функцией.