15. Условие компланарности трех векторов

Определение. Три вектора, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называются компланарными.

Пусть три вектора а, b, с компланарны. Не ограничивая общности, можно считать, что эти векторы лежат в одной плоскости.

В этом случае вектор будет перпендикулярен этой плоскости и, следовательно, перпендикулярен вектору с, поэтому скалярное произведение

Следовательно, смешанное произведение компланарных векторов равно нулю.

Обратно, если смешанное произведение , то векторы а, b, с компланарны.

Действительно, если бы эти векторы были бы не компланарны, то на них можно было бы построить параллелепипед с объемом . Но так как , то отсюда следовало бы, вопреки предположению, что .

Итак, для того чтобы три вектора а, b, с были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т. е.

или

Рассмотрим теперь примеры на применение смешанного произведения векторов.

Пример 1. Показать, что векторы компланарны.

Решение. Составляем смешанное произведение этих векторов:

Так как смешанное произведение оказалось равным нулю, то, следовательно, векторы компланарны.

Пример 2. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках .

Решение. Рассмотрим векторы

Из элементарной геометрии известно, что объем пирамиды, построенной на ребрах ОЛ, ОВ и ОС, равен объема параллелепипеда, построенного на тех же ребрах.

Поэтому

(при вычислении определителя мы воспользовались разложением по элементам третьего столбца).