8. Последовательность. Число e

Рассмотрим функцию, областью определения которой является множество натуральных чисел: Такая функция называется функцией натурального аргумента или последовательностью. Значения этой функции называются членами последовательности.

Члены последовательности обычно располагаются в порядке возрастания аргумента:

называется первым членом последовательности, вторым членом, называется или общим членом последовательности. Последовательность кратко обозначают Пример 1. Пусть Выпишем несколько первых членов последовательности:

Пример 2. Пусть Тогда

Пример 3. Пусть . Тогда

Введем теперь понятие предела последовательности.

Определение. Число b называется пределом последовательности если, каково бы ни было , найдется такое натуральное число N, что для всех членов последовательности, номер которых выполняется неравенство (или ).

Если число - предел последовательности, то это записывается так: или

Определение предела последовательности аналогично определению предела функции при Для функции условие выполнялось для всех действительных значений а для последовательности неравенство выпол гнется для всех натуральных чисел

Рис. 112

Неравенство равносильно неравенствам

Поэтому, изображая члены последовательности точками плоскости с координатами приходим к следующему геометрическому смыслу предела последовательности: если последовательность имеет пределом число 6, то каково бы ни было найдется такое натуральное число N, что все точки, изображающие члены последовательности с номерами попадут в полосу, ограниченную прямыми (рис. 112).

Все теоремы о пределах функций, доказанные в этом параграфе, остаются справедливыми и для последовательностей.

Рассмотрим пример.

Пример 4. Найти предел последовательности

Решение. Здесь числитель и знаменатель одновременно стремятся к Для отыскания предела преобразуем выразив числитель по формуле суммы арифметической прогрессии:

Итак,

Пример 5. Рассмотрим последовательность Члены последовательности попеременно принимают значения Эта последовательность, очевидно, не имеет предела.

Пример 6. Рассмотрим последовательность где Покажем, что

Решение. Рели , то при любом . Ясно, что в этом случае

Пусть теперь . Тогда , где . По формуле бинома Ньютона

Так как , то все слагаемые в последней сумме положительны. Отбрасывая все слагаемые, кроме первых двух, получим Отсюда заключаем, что так как при неограниченно растет, то также неограниченно растет, т. е.

Наконец, пусть . Тогда где . На основании выше изложенного поэтому стремится к нулю:

Последовательность называется возрастающей, если с увеличением ее члены увеличиваются, т. е.

Если с увеличением члены последовательности убывают, т. е.

то последовательность называется убывающей.

Последовательность примера 1 возрастающая, а примера 2 — убывающая. Последовательность примера 3 не является ни возрастающей, ни убывающей.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число С, что для всех натуральных чисел выполняется неравенство . Последовательность примера 1 не является ограниченной.

Рис. 11.3.

Рассмотрим возрастающую последовательность

Если эта последовательность не является ограниченной, то ее члены будут неограниченно возрастать и, следовательно, такая последовательность не имеет предела. Нели же возрастающая последовательность ограничена, то ее члены, возрастая и не превосходя числа С, должны, очевидно, неограниченно приближаться к некоторому числу (рис. 11.3). Не доказывая этого факта, ограничимся его точной формулировкой.

Теорема (достаточный признак существования предела последовательности). Всякая возрастающая ограниченная последовательность имеет предел

В качестве примера на применение этого признака рассмотрим последовательность, общий член которой Покажем, что эта последовательность возрастает и ограничена.

По формуле бинома Ньютона имеем, полагая (см. сноску на стр. 184):

Замечая, что

получим

С увеличением дроби, уменьшаются, а разности увеличиваются. Поэтому с увеличением и т. д. члены разложения увеличиваются. Кроме того, с увеличением добавляются новые положительные слагаемые. Поэтому с увеличением возрастает. Итак, последовательность — возрастающая. Покажем, что ока ограничена.

Если в разложении для у каждого слагаемого отбросить в скобках дроби то каждое слагаемое увеличится, и мы получим сумму, большую первоначальной:

Но

Поэтому

Сумму найдем формуле суммы членов геометрической прогрессии:

Поэтому Итак, данная последовательность ограничена.

Следовательно, на основании признака существования предела возрастающей ограниченной последовательности заключаем, что последовательность имеет предел. Этот предел играет большую роль в математике. Его называют числом е. Итак,

Число иррационально. Его приближенное значение с точностью до

Рассмотрим функцию Можно доказать, что эта функция при непрерывном изменении и стремлении его к также имеет пределом число :

Доказательства этого факта мы не приводим.

С помощью формулы (19) вычисляются многие пределы. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Показать, что .

Решение. Сделаем, как говорят, замену переменной, положив . Тогда, очевидно, что при . Поэтому

Итак,

Так как функция имеет один и тот же предел как при , так и при , то часто пишут просто

Пример 2. Найти предел функции при . Решение. Для разыскания предела сделаем замену переменной, положив Тогда при . Поэтому

Пример 3. Найти .

Решение. Положим . При . Следовательно,

В заключение отметим, что часто приходится рассматривать показательную функцию с основанием