5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Как мы уже знаем, суммой ряда называется предел последовательности его частичных сумм Однако нахождение этого предела во многих случаях связано с большими трудностями. В таких случаях сумму ряда находят приближенно, заменяя ее частичной суммой с достаточно большим номером п. Но для этого надо быть уверенным, что данный ряд сходится. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях удается установить с помощью так называемых достаточных признаков. В этом пункте будут рассмотрены достаточные признаки сходимости и расходимости для рядов с положительными членами. Такие ряды называются знакоположительными

Прежде всего заметим следующее. Так как в знакоположительном ряде все члены положительны, то его частичные суммы возрастают с увеличением номера суммы п. Таким образом, частичные суммы ряда образуют монотонно возрастающую числовую последовательность

Здесь возможны два случая.

1. Последовательность частичных сумм неограничена. В этом случае и, следовательно, ряд расходится.

2. Последовательность частичных сумм ограничена, т. е. при любом п. В этом случае последовательность частичных сумм имеет предел (см. гл. V, § 1, п. 8) и, следовательно, ряд сходится.

Таким образом, при доказательстве того, что тот или иной знакоположительный ряд сходится, достаточно доказать только ограниченность последовательности его частичных сумм.

Рассмотрим теперь некоторые наиболее часто встречающиеся признаки сходимости и расходимости рядов.

Признаки сравнения рядов

Теорема 1 (достаточный признак сходимости). Даны два знакоположительных ряда

Пусть члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда:

и второй ряд сходится. В таком случае первый ряд также сходится и его сумма не превосходит суммы второго ряда.

Доказательство. Обозначим через соответственно частичные суммы первого и второго рядов:

Из неравенств (18) следует, что . Так как второй ряд (К) сходится, то существует . При этом, поскольку члены ряда положительны, очевидно, что а следовательно, и . Таким образом, частичные суммы ряда (U) ограничены и, следовательно, ряд (U) сходится, причем его сумма не превосходит суммы ряда (V), как это следует из неравенства

Теорема 2 (достаточный признак расходимости ряда). Даны два знакоположительных ряда

Пусть члены первого ряда не меньше соответствующих членов второго ряда

и второй ряд расходится. В таком случае первый ряд также расходится.

Доказательстзо. Обозначим снова через соответственно частичные суммы первого и второго рядов:

Из неравенств (19) следует, что . Так как ряд (У) расходится и его частичные суммы возрастают, то . В таком случае и и, следовательно, ряд (U) расходится.

При исследовании рядов с помощью признаков сравнения необходимо иметь для сравнения ряды, относительно которых известно, сходятся они или расходятся.

В п. 2 мы рассмотрели геометрическую прогрессию и установили, что она представляет собой ряд, сходящийся при и расходящийся при

Ниже будет показано, что ряд

сходится при показателе и расходится при . При получается ряд

который называется гармоническим. Ряд (20) называется обобщенным гармоническим рядом.

Геометрическая прогрессия, гармонический и обобщенный гармонический ряды очень часто используются при исследовании рядов с помощью признаков сравнения.

Пример 1. Исследовать, сходится ли ряд

Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд

Ряд (23) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится. Так как члены ряда (22) не превосходят соответствующих членов ряда (23), то по теореме 1 ряд (22) также сходится.

Пример 2. Исследовать, сходится ли ряд

Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд

который расходится (см. п. 4). Так как каждый член ряда (24) больше соответствующего члена ряда (25):

то по теореме 2 ряд (24) также расходится.

Применение признаков сравнения при исследовании рядов часто бывает затруднительно из-за необходимости составлять вспомогательный ряд. Общих приемов для зтого, годных для всех случаев, не существует. Поэтому при исследовании рядов часто применяются другие достаточные признаки, в частности следующий признак. Признак Даламбера. Если для знакоположительного ряда

существует предел отношения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании номера члена , т. е.

то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Доказательство, а) Пусть . Покажем, что ряд сходится. Действительно, так как

то на основании определения предела для любого можно подобрать такое N, зависящее от 8, что для всех членов ряда, номер которых выполняется неравенство

Отсюда следует, что

или

Полагая будем иметь . Так как по предположению меньше единицы, а произвольно мало, то можно выбрать настолько малым, чтобы Таким образом, для будем иметь:

или

Рассмотрим два ряда

Ряд (29) сходится, как геометрическая прогрессия со знаменателем . Так как члены ряда (28) не превосходят соответствующих членов ряда (29), то на основании признака сравнения (теорема 1) ряд (28) также сходится.

Но ряд (28) получается из данного ряда (26) отбрасыванием конечного числа членов и, следовательно, по теореме 3 п. 3 ряд (26) также сходится.

б) Пусть теперь Покажем, что ряд расходится. Действительно, в этом случае

Отсюда следует, что начиная с достаточно больших значений

Таким образом, члены ряда возрастают с увеличением номера члена . Поэтому , т. е. не выполнен необходимый признак сходимости ряда и ряд должен расходиться.

Замечание 1. Если то ряд также расходится, так как и в этом случае для достаточно больших следовательно,

Замечание 2. Подчеркнем еще раз, что, если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера, то общий член ряда не стремится к нулю.

Замечание 3. При признак Даламбера на вопрос о том, сходится или расходится ряд, ответа не дает. Как показывают примеры, в этом случае может иметь место как сходимость, так и расходимость.

Рассмотрим примеры исследования рядов на сходимость с помощью признака Даламбера.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Вычисляем

Итак, и, следовательно, данный ряд сходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Вычисляем

Так как то данный ряд расходится.

Рассмотрим теперь два примера рядов, для которых и покажем, что один из этих рядов сходится, а другой расходится. Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Вычисляем

На основании признака Даламбера сделать заключение о сходимости или расходимости ряда мы не можем. Однако, как было указано в п. 4 этого параграфа, этот ряд расходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Вычисляем

Выше (см. п. 1 этого параграфа) непосредственным нахождением суммы этого ряда было показано, что он сходится.

В тех случаях когда признак Даламбера не позволяет сделать вывода о сходимости или расходимости ряда, наряду с признаками сравнения часто применяется следующий достаточный признак сходимости ряда.

Интегральный признак Коши Пусть члены знакоположительного ряда

являются значениями при некоторой функции положительной, непрерывной, монотонно убывающей на интервале так что

Тогда:

а) если сходится, то сходится и ряд (30);

б) если расходится, то ряд (30) также расходится.

Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции с основанием от до Впишем в эту трапецию и опишем около нее две ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников, основаниями которых служат сегменты

Рис. 260

Высотами первой из них служат значения функции а высотами второй — значения (рис. 260). Как видно из рисунка, площадь криволинейной трапеции, выражаемая интегралом заключается между площадями вписанной и описанной ступенчатых фигур.

Так как площадь вписанной фигуры выражается суммой

а описанной — суммой

то получаем неравенства

или короче,

Отсюда получаем

Рассмотрим теперь следующие случаи.

а) Пусть несобственный интеграл сходится (существует).

Это значит, что существует . Так как , то с возрастанием возрастает и не превосходит своего предела:

Из неравенства (31) следует, что . Таким образом, в этом случае последовательность частичных сумм ограничена и, следовательно, существует , т. е. ряд сходится.

б) Пусть несобственный интеграл расходится (не существует). В этом случае Из неравенства (32) следует, что последовательность частичных сумм неограничена и, следовательно, ряд расходится.

Рассмотрим примеры на применение интегрального признака. Выше в этом пункте было указано без доказательства, что обобщенный гармонический ряд (20)

где предполагается, что сходится при и расходится при

Докажем это с помощью интегрального признака. Члены ряда здесь равны значениям положительной монотонно убывающей функции при Рассмотрим несобственный интеграл Как мы знаем (см. гл. VIII,

§ 5, п. 1), при этот интеграл расходится, а при - сходится. Следовательно, ряд (20) сходится при и расходится при .