Главная > Математика > Краткий курс высшей математики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Определение. Линейным дифференциальным уравнением порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

Здесь коэффициенты - некоторые числа.

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Будем искать решение уравнения (87) в виде Подставляя эту функцию в данное уравнение и сокращая на общий множитель о, получим алгебраическое уравнение

из которого определяются те значения k, при которых функция у является решением уравнения (87). Алгебраическое уравнение (88) называется характеристическим уравнением для линейного дифференциального уравнения (87).

Уравнение степени и поэтому имеет корней. Можно показать, что:

1) любому действительному корню характеристического уравнения, имеющему кратность соответствует частных решений:

2) любой паре комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения , каждый из которых имеет кратность , соответствует частных решений:

Число таких решений, соответствующих всем действительным и комплексным корням характеристического уравнения (88), равно n. Эти решения, как можно показать, образуют фундаментальную систему частных решений.

Пример Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение

Решаем его, разлагая левую часть на множители:

Итак, корни характеристического уравнения:

Корню кратности два соответствуют два частных решения . Корням соответствуют частные решения и, наконец, простому корню соответствует одно частное решение

Все эти частные решения образуют фундаментальную систему. Поэтому ебщее решение имеет вид

Рассмотрим теперь линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Как мы знаем, общее решение этого уравнения является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения (83) и частного решения неоднородного уравнения (89).

Нахождение общего решения однородного линейного уравнения было только что рассмотрено.

При отыскании частного решения неоднородного уравнения (89) ограничимся случаем, когда правая часть имеет специальный вид, рассмотренный в § 4, п. 2.

Правила составления формы частного решения неоднородного уравнения остаются при этом дословно такими же, как сформулированные в § 4, п. 2, правила для составления формы частного решения уравнения второго порядка.

Пример Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение

Его корни . Общее решение однородного уравнения имеет вид

Частное решение неоднородного уравнения надо искать в форме

Дифференцируем три раза:

Подставляем выражения в данное уравнение и приводим подобные члены:

Приравнивая коэффициенты при в левой и правой частях последнего равенства, получим

Отсюда и частное решение будет иметь вид

Общее решение данного уравнения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление