3. Простейшие свойства числовых рядов

Рассмотрим несколько простых свойств числовых рядов, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Теорема b Если ряд

сходится и имеет сумму S, то ряд

где а заданное число, также сходится и его сумма равна

Доказательство. Пусть частичная сумма ряда (8) будет частичная сумма ряда . Тогда

Отсюда

Таким образом, ряд (9) сходится и имеет сумму

Теорема 2 Если ряды

сходятся и имеют соответственно суммы , то ряд

получающийся почленным сложением данных рядов, также сходится и имеет сумму .

Доказательство. Обозначим частичные суммы рядов (10), (11) и (12) соответственно . Имеем:

Переходя к пределу, получаем

Итак, ряд (12) сходится. Ряд (12) называется суммой рядов (10) и (11).

Замечание. Аналогично можно доказать, что будет сходиться ряд

и его сумма будет равна . Ряд (13) называется разностью рядов (10) и (11).

Рассмотрим два ряда

и

Теорема 3. Если сходится данный ряд (14), то сходится и ряд (14), полученный из ряда (14) отбрасыванием конечного числа k его первых членов. Обратно, если сходится ряд (14), то сходится и данный ряд (14).

Доказательство. Обозначим через сумму первых членов ряда (14), через сумму k отброшенных членов и через сумму первых членов ряда (14):

Следовательно,

причем — некоторое число, не зависящее от .

1. Пусть ряд (14) сходится и имеет сумму S, т. е.

Тогда из равенства (15) следует:

Итак, частичные суммы ряда (14) при имеют предел, т. е. ряд (14) сходится.

2. Пусть ряд (14) сходится и имеет сумму а, т. е.

Из (15) следует:

т. e. ряд (14) сходится.

Теорему (13) можно сформулировать также следующим образом. На сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.