2. Задача о работе переменной силы

Если материальная точка под действием силы F, не меняющейся ни по величине, ни по направлению, переместилась на расстояние l в направлении действия силы, то работа силы, как известно из механики, равна произведению величины силы F на перемещение т. е.

Рассмотрим теперь случай, когда сила F меняется по своей численной величине, хотя и сохраняет постоянное направление. Пусть под действием этой силы материальная точка перемещается по прямой, направленной вдоль линии действия силы. Поставим задачу о вычислении работы силы

Примем прямую, вдоль которой перемещается материальная точка, за ось . Пусть начальная и конечная точки пути имеют абсциссы соответственно а и b .

Рис. 175

В каждой точке сегмента величина силы имеет определенное значение, т. е. является некоторой функцией абсциссы: . Эту функцию будем считать непрерывной. Разобьем сегмент между начальной и конечной точкой пути на малых сегментов (рис. 175)

(здесь ), длины которых соответственно равны:

Работа на всем пути равна сумме работ на всех малых участках пути. Обозначив искомую работу на всем пути через Е, а работу на малом участке — через имеем

Но определить работу на малом участке так же трудно, как на всем пути, так как сила не постоянна. Однако, если сегменты разбиения брать достаточно мелкими, то вследствие предположения о непрерывности функции сила на каждом из малых участков пути изменится незначительно. Выберем в каждом малом сегменте по точке и предположим, что в каждом малом сегменте величина силы имеет постоянное значение, равное ее значению в точке

В этом предположении работа силы на отрезке пути согласно формуле (7) будет равна

Но в действительности на малом сегменте сила непостоянна, поэтому выражение дает нам лишь приближенное значение работы на этом малом участке. Таким образом, на участке

а на всем пути

Это приближенное равенство будет тем точнее, чем меньше Поэтому за точное значение работы естественно принять предел суммы (8) при условии, что наибольшая длина X малых перемещений стремится к нулю, т. е.