6. Дифференциалы высших порядков

Рассмотрим функцию и предположим, что ее аргумент х — независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции зависит от двух переменных: причем от не зависит (приращение в данной точке можно выбирать независимо от этой точки).

Рассматривая только как функцию (т. е. считая постоянным), можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала данной функции называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается символом Читается «дэ два игрек» или «дэ два эф от икс»).

Таким образом, по определению

Найдем выражение второго дифференциала функции

При дифференцировании считалось постоянным. В дальнейшем скобки при степенях мы будем опускать. Тогда выражение для будет иметь следующий вид:

Аналогично определяются и находятся дифференциалы порядка и т. д.

Вообще, дифференциалом (или дифференциалом порядка) функции называется дифференциал от ее дифференциала.

Дифференциал порядка функции обозначается сим» волом или Таким образом, по определению

Дифференциал функции иногда называется дифференциалом первого порядка.

Нетрудно установить справедливость формулы

для функции аргумент которой является независимой переменной.

Из формулы (71) следует, что

В частности, при n = 1, 2 и 3 соответственно получим

Иными словами, производную порядка данной функции (при условии, что ее аргумент является независимой переменной) можно рассматривать как отношение ее дифференциала порядка к степени дифференциала независимой переменной.

В п. 4 мы видели, что форма дифференциала первого порядка обладает свойством инвариантности. Однако форма дифференциала высшего порядка не обладает свойством инвариантности.

Зто значит, что формула (71) (при не остается, вообще говоря, справедливой, если аргумент не является независимой переменной. Формула (72) в этом случае (при ) также, вообще говоря, не верна. Поэтому производную в случае, когда не является независимой переменной, нельзя рассматривать как отношение

Тем не менее, условимся и здесь сохранить запись понимая не как отношение дифференциалов, а как новое симеолическое обозначение производной.