3. Метод параболических трапеций (метод Симпсона)

Этот метод приближенного вычисления определенного интеграла основан на замене графика подынтегральной функции не хордами, как в методе трапеций, а дугами парабол, оси которых параллельны оси

Прежде чем излагать этот метод, рассмотрим тот частный случай, когда кривая, ограничивающая данную криволинейную трапецию, является графиком квадратного трехчлена .

Имеет место следующая формула:

где — ордината кривой в точке (левая ордината); — ордината кривой в точке (правая ордината); — ордината кривой в средней точке сегмента т. е. в точке (рис. 209).

Вывод этой формулы сводится к ее непосредственной проверке.

Подсчитаем выражение, стоящее в левой части формулы:

Для подсчета выражения, стоящего в правой части формулы (86), найдем предварительно

Подставляем в правую часть формулы (86):

Мы видим, что правая и левая части формулы (86) равны между собой, что и доказывает ее справедливость.

Рис. 209

Рис. 210

Рассмотрим теперь криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой (рис. 210). Через точки этой кривой, где проведем вспомогательную параболу Такую параболу всегда можно провести через три точки и при этом только одну (см. гл. VI, § 9, замечание).

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной вспомогательной параболой, приближенно равна площади заданной криволинейной трапеции:

Так как согласно формуле

то для произвольной функции имеет место следующее приближенное равенство:

Однако, если сегмент достаточно большой, то приближение, даваемое формулой (86), будет слишком грубым. Поэтому, для того чтобы получить более точное приближение интеграла поступим следующим образом: сегмент разобьем на четное число равных малых сегментов длины . Пусть деления. Рассмотрим малые сегменты длины серединами этих сегментов будут соответственно точки

Разобьем интеграл на сумму нескольких интегралов:

Применим к каждому из интегралов правой части равенства (87) формулу (86):

где

Складывая правые и левые части соотношений (88), получим

Эта формула носит название формулы параболических трапеций или формулы Симпсона.

Для оценки погрешности вычислений по формуле Симпсона можно рекомендовать следующую формулу, которую приводим без вывода

где - соответственно результаты вычислений интеграла по формуле Симпсона при числе делений сегмента интегрирования на частей.

Пример, Вычислить с помощью формулы Симпсона

Решение. Составим таблицу для (табл. 3)

Таблица 3

Применяя формулу (89), получим

При пользуясь табл. 1, получим

Сравнивая результаты обоих вычислений, замечаем, что после округления совпадают первые три знака. Поэтому за приближенное значение интеграла принимаем

Напомним, что табличное значение данного интеграла с точностью до 0,00001 равно 0,84528.

Замечание. При одном и том же числе точек деления сегмента интегрирования метод Симпсона дает обычно более точный результат, чем метод трапеций. Можно показать, что погрешность в методе трапеций обратно пропорциональна квадрату числа точек деления, а в методе Симпсона — обратно пропорциональна четвертой степени числа точек деления.