10. Расстояние от точки до прямой

Сначала найдем расстояние от начала координат до прямой

Приведя данное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом

замечаем, что угловой коэффициент этой прямой — Прямая, проходящая через начало координат перпендикулярно данной прямой, имеет угловой коэффициент Поэтому уравнение этой прямой имеет вид в

Рис. 42

Решая систему уравнений

мы найдем координаты точки N (х; у), являющейся точкой пересечения данной прямой и опущенного на нее из начала координат перпендикуляра:

Искомое расстояние d от начала координат до данной прямой равно расстоянию между началом координат и точкой

Найдем теперь расстояние d от произвольно заданной точки до данной прямой (рис. 42). Сделаем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало точку . Тогда (см. гл. I, § 6, п. 1)

и уравнение данной прямой в новой системе координат примет следующий вид:

или

или, наконец,

где

Так как в новой системе координат точка является началом координат, то расстояние d от этой точки до данной прямой найдется по формуле (18):

или, так как

Заметим, что в числителе правой части формулы (20) стоит абсолютная величина выражения, которое получится, если в левую часть уравнения данной прямой вместо текущих координат подставить координаты данной точки .

Пример 1. Треугольник задан своими вершинами А (1; 2), В(-2; 1) и С (2; 3). Найти длину его высоты, опущенной из вершины А.

Решение. Найдем уравнение прямой, проходящей через две точки и С (2; 3):

или

Искомую длину высоты найдем по формуле (20) как расстояние от точки до прямой ВС:

Пример 2. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми

Решение. Биссектриса угла есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от сторон этого угла. Пусть точка - любая точка биссектрисы угла между данными прямыми (рис. 43). Согласно формуле (20) ее расстояние от первой прямой

Точно так же расстояние точки от второй прямой

Рис. 43

По определению биссектрисы т. е.

Если равны модули двух величин, то эти величины либо равны, либо отличаются только знаком. Следовательно,

ИЛИ

Упрощая последние два уравнения, получим

Переходя к обозначениям текущих координат х и у вместо х и у, получим следущие уравнения биссектрис: