7. Параболоиды
Эллиптический параболоид. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

при условии, что
имеют одинаковые знаки. В дальнейшем для определенности будем считать, что 

Рис. 100
При пересечении эллиптического параболоида координатными плоскостями
получатся соответственно параболы

а при пересечении плоскостью
- эллипс

с полуосями
(рис. 100). В случае
получим параболоид вращения

Поскольку х и у входят в уравнение (63) в четных степенях, эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии: 
Гиперболический параболоид. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

при условии, что
имеют одинаковые знаки.
(В дальнейшем для определенности будем считать, что 
Пересекая эту поверхность плоскостью
, получим параболу

(рис. 101).
При пересечении гиперболического параболоида плоскостью
получится парабола

или

При различных значениях h получится целое семейство парабол, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости
и имеющих одинаковый параметр 

Рис. 101
Гиперболический параболоид можно рассматривать как поверхность, описываемую движением любой из этих парабол при условии, что плоскость движущейся параболы остается параллельной плоскости
ось симметрии параболы остается в плоскости
а вершина движется по параболе (67). Пересекая гиперболический параболоид тоскостыо
получим (при
) гиперболу

На рис. 101 показано расположение этой гиперболы для двух случаев:
При
т. е. при пересечении гиперболического параболоида координатной плоскостью
получится линия, уравнение которой в плоскости
имеет вид 
Последнее уравнение равносильно системе двух уравнений

Это означает, что гиперболический параболоид пересекается с плоскостью Оху по двум прямым —

и

лежащим в плоскости Оху и проходящим через начало координат.

Рис. 102
Кроме этих двух прямых, существуют и другие прямые, полностью лежащие на гиперболическом параболоиде. Более того, как и в случае однополостного гиперболоида, можно показать, что через каждую точку гиперболического параболоида проходит по одной прямой каждого из двух семейств прямых

где k и
произвольные параметры.
Таким образом, гиперболический параболоид можно рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий (рис. 102).
Замечание. Поверхности, составленные из прямых линий, называются линейчатыми. Таким образом, цилиндрические и конические поверхности, а также однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид являются линейчатыми поверхностями.