7. Параболоиды

Эллиптический параболоид. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

при условии, что имеют одинаковые знаки. В дальнейшем для определенности будем считать, что

Рис. 100

При пересечении эллиптического параболоида координатными плоскостями получатся соответственно параболы

а при пересечении плоскостью - эллипс

с полуосями (рис. 100). В случае получим параболоид вращения

Поскольку х и у входят в уравнение (63) в четных степенях, эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии:

Гиперболический параболоид. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

при условии, что имеют одинаковые знаки.

(В дальнейшем для определенности будем считать, что

Пересекая эту поверхность плоскостью , получим параболу

(рис. 101).

При пересечении гиперболического параболоида плоскостью получится парабола

или

При различных значениях h получится целое семейство парабол, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости и имеющих одинаковый параметр

Рис. 101

Гиперболический параболоид можно рассматривать как поверхность, описываемую движением любой из этих парабол при условии, что плоскость движущейся параболы остается параллельной плоскости ось симметрии параболы остается в плоскости а вершина движется по параболе (67). Пересекая гиперболический параболоид тоскостыо получим (при ) гиперболу

На рис. 101 показано расположение этой гиперболы для двух случаев: При т. е. при пересечении гиперболического параболоида координатной плоскостью получится линия, уравнение которой в плоскости имеет вид

Последнее уравнение равносильно системе двух уравнений

Это означает, что гиперболический параболоид пересекается с плоскостью Оху по двум прямым —

и

лежащим в плоскости Оху и проходящим через начало координат.

Рис. 102

Кроме этих двух прямых, существуют и другие прямые, полностью лежащие на гиперболическом параболоиде. Более того, как и в случае однополостного гиперболоида, можно показать, что через каждую точку гиперболического параболоида проходит по одной прямой каждого из двух семейств прямых

где k и произвольные параметры.

Таким образом, гиперболический параболоид можно рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий (рис. 102).

Замечание. Поверхности, составленные из прямых линий, называются линейчатыми. Таким образом, цилиндрические и конические поверхности, а также однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид являются линейчатыми поверхностями.