Главная > Математика > Краткий курс высшей математики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Гипербола

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости у абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами у есть постоянная величина, при условии, что эта величина не равна нулю и меньше расстояния между фокусами.

Обозначим расстояние между фокусами через а постоянную величину, равную модулю разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов, через (по условию ). Как и в случае эллипса, ось абсцисс проведем через фокусы, а за начало координат примем середину отрезка (см. рис. 44). Фокусы в такой системе будут иметь координаты Выведем уравнение гиперболы в выбранной системе координат. По определению гиперболы для любой ее точки имеем или

Но . Поэтому получим

После упрощений, подобных тем, которые были сделаны при выводе уравнения эллипса, получим следующее уравнение:

которое является следствием уравнения (33).

Нетрудно заметить, что это уравнение совпадает с уравнением (27), полученным для эллипса. Однако в уравнении (34) разность , так как для гиперболы . Поэтому положим

Тогда уравнение (34) приводится к следующему виду:

Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Уравнению (36), как следствию уравнения (33), удовлетворяют координаты любой точки гиперболы. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на гиперболе, уравнению (36) не удовлетворяют.

Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением. Это уравнение содержит лишь четные степени текущих координат. Следовательно, гипербола имеет две оси симметрии, в данном случае совпадающих с координатными осями. В дальнейшем оси симметрии гиперболы мы будем называть осями гиперболы, а точку их пересечения — центром гиперболы. Ось гиперболы, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Исследуем форму гиперболы в I четверти, где

Здесь так как иначе у принимал бы мнимые значения. При возрастании х от а до возрастает от 0 до Частью гиперболы, лежащей в I четверти, будет дуга , изображенная на рис. 47.

Так как гипербола расположена симметрично относительно координатных осей, то эта кривая имеет вид, изображенный на рис. 47.

Рис. 47

Точки пересечения гиперболы с фокальной осью называются ее вершинами. Полагая в уравнении гиперболы, найдем абсциссы ее вершин: . Таким образом, гипербола имеет две вершины: . С осью ординат гипербола не пересекается. В самом деле, положив в уравнении гиперболы получим для у мнимые значения: . Поэтому фокальная ось гиперболы называется действительной осью, а ось симметрии, перпендикулярная фокальной оси, — мнимой осью гиперболы.

Действительной осью также называется отрезок, соединяющий вершины гиперболы, и его длина 2а. Отрезок, соединяющий точки (см. рис. 47), а также его длина называется мнимой осью гиперболы. Числа а и b соответственно называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Рассмотрим теперь гиперболу, расположенную в I четверти и являющуюся графиком функции

Покажем, что точки этого графика, расположенные на достаточно большом расстоянии от начала координат, сколь угодно близки к прямой

проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент

С этой целью рассмотрим две точки имеющие одну и ту же абсциссу и лежащие соответственно на кривой (37) и прямой (38) (рис. 48), и составим разность между ординатами этих точек

Рис. 48

Рис. 49

Числитель этой дроби — величина постоянная, а знаменатель неограниченно возрастает при неограниченном возрастании . Поэтому разность стремится к нулю, т. е. точки М и N неограниченно сближаются при неограниченном возрастании абсциссы.

Из симметрии гиперболы относительно координатных осей следует, что имеется еще одна прямая , к которой сколь угодно близки точки гиперболы при неограниченном удалении от начала координат. Прямые

и

называются асимптотами гиперболы.

На рис. 49 указано взаимное расположение гиперболы и ее асимптот. На этом рисунке указано также, как построить асимптоты гиперболы.

Для этого следует построить прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами, параллельными осям и соответственно равными . Этот прямоугольник называется основным. Каждая из его диагоналей, неограниченно продолженная в обе стороны, является асимптотой гиперболы. Перед построением гиперболы рекомендуется строить ее асимптоты.

Отношение половины расстояния между фокусами к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается обычно буквой :

Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше единицы: Эксцентриситет характеризует форму гиперболы

Действительно, из формулы (35) следует, что . Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы,

тем меньше отношение — ее полуосей. Но отношение — определяет форму основного прямоугольника гиперболы, а следовательно, и форму самой гиперболы. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник (в направлении фокальной оси).

Гипербола называется равносторонней (или равнобочной), если ее действительная полуось равна мнимой полуоси: . Каноническое уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

или

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения

и, следовательно, являются биссектрисами координатных, углов. Эксцентриситет равносторонней гиперболы

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная что расстояние между ее фокусами равно 26, а эксцентриситет равен

Решение. По условию Следовательно, большая полуось гиперболы Согласно формуле (35) малая полуось гиперболы

Уравнение гиперболы имеет следующий вид:

Пример 2. Гипербола, оси которой совпадают с осями координат, проходит через точки . Найти ее каноническое уравнение.

Решение. Напишем каноническое уравнение гиперболы

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек Следовательно,

или

Отсюда находим и подставляем их в каноническое уравнение гиперболы:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление