Научная библиотека

3. Сходимость ряда Фурье

При выводе формул (124) мы заранее предполагали, что функция разлагается в правильно сходящийся тригонометрический ряд (122). Если же такого предположения делать, а допустить только, что для функции существуют все интегралы, стоящие в правых частях формул (124), то по этим формулам можно вычислить коэффициенты и составить тригонометрический ряд (122), который будет рядом Фурье, соответствующим данной функции.

Будет ли построенный таким образом ряд Фурье сходящимся и если он будет сходиться, то имеем ли мы право утверждать, что он сходится именно к функции с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда?

Подобный же вопрос возникал при изучении степенных рядов.

Оказывается, что сходимость ряда Фурье к заданной функции имеет место для довольно широкого класса функций. Достаточные условия сходимости ряда Фурье и, следовательно, возможность разложения функций в ряд Фурье даются теоремой Дирихле. Прежде чем формулировать эту теорему, введем два определения.

Определение. Функция называется кусочно-монотонной на сегменте если этот сегмент можно разделить на конечное число сегментов, внутри каждого из которых функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Рис. 263

Дадим теперь основное для этого раздела определение.

Определение. Функция называется удовлетворяющей условиям Дирихле на сегменте , если:

1) функция непрерывна на сегменте или же имеет на нем конечное число точек разрыва первого рода;

2) функция кусочно-монотонна на сегменте

Сформулируем теперь теорему Дирихле, дающую достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле. Пусть периодическая функция с периодом удовлетворяет на любом сегменте условиям Дирихле. В таком, случае ряд Фурье, соответствующий этой функции, сходится во всех точках числовой оси. При этом в каждой точке непрерывности функции сумма ряда равна значению функции в этой точке. В каждой точке разрыт функции сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции, при слева и справа, т. е.

Доказательства этой теоремы мы приводить здесь не будем.

Рассмотрим теперь пример разложения функции в ряд Фурье.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию периода заданную на интервале формулой (рис. 263).

Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Применяя формулы (124), найдем коэффициенты Эйлера—Фурье:

Таким образом,

Следовательно, ряд Фурье функции будет иметь вид

Так как функция удовлетворяет условиям Дирихле, то в любой точке непрерывности сумма ряда равна значению функции. В точках — функция имеет разрывы первого рода, и сумма ряда будет равна нулю полусумма предельных значений справа и слева . Это также непосредственно получается из ряда (126) при . На рис. 264 показан график функции и частичные суммы ряда (126), содержащие 1, 2 и 3 члена. Из рисунка видно, как графики частичных сумм ряда приближаются к графику функции при увеличении числа членов суммы.

Из формулы (126) можно получить интересное следствие. Полагая получим

или

Отсюда находим сумму ранее изучавшегося нами ряда

Рис. 264