§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. Вычисление площади в декартовых координатах

Как мы видели (см. § 2, п. 1), если на сегменте функция непрерывна и положительна, то криволинейная трапеция с основанием ограниченная сверху графиком этой функции, имеет площадь S, которую можно найти по формуле

или кратко

Рис. 180

Пример 1. Вычислить площадь сегмента параболы, т. е. фигуры, ограниченной дугой параболы и отрезком АВ прямой (рис. 180).

Решение. Исходя из симметрии сегмента параболы относительно оси найдем его площадь S, как удвоенную площадь криволинейной трапеции

Пример 2. Определить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение. Из симметрии эллипса относительно осей вытекает, что искомая площадь S равна учетверенной площади криволинейной трапеции ОАВ (см. рис. 45):

Но, согласно примеру 2 § 3, п. 5, . Следовательно,

В частности, если то эллипс превращается в окруж ность радиуса и мы приходим к известной формуле для площади круга:

Пусть теперь на сегменте . Криволинейная трапеция с основанием ограниченная снизу кривой лежит ниже оси

Рис. 181

Рис. 182

Из соображений симметрии заключаем, что ее площадь S равна площади другой криволинейной трапеции, имеющей то же основание, но ограниченной сверху кривой (см. рис. 181). Так как по условию то и, применяя формулу (35), найдем

Так выражается площадь криволинейной трапеции в случае отрицательной подынтегральной функции.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс (рис. 182).

Решение. Парабола пересекается с осью абсцисс в точках . Следовательно, надо найти площадь S криволинейной трапеции АСВ, основанием которой служит сегмент Так как на этом сегменте у. 0, то для нахождения площади S пользуемся формулой (36):

Формулы (35) и (36) можно объединить в одну:

Эта формула остается справедливой также и в том случае, когда функция f(x) на сегменте [а, b] меняет знак, т. е. имеет на этом сегменте как положительные, так и отрицательные значения.

Рис. 183

Пример 4. Вычислить площадь S фигуры OABCD, ограниченной косинусоидой , осями координат и прямой (рис. 183).

Решение. По формуле (37) имеем

Так как функция в интервале положительна, а в интервале отрицательна, то

Поэтому

Вычислим теперь площадь фигуры, ограниченной сверху кривой снизу кривой и двумя прямыми (см. рис. 177). Искомая площадь равна разности площадей криволинейных трапеций

Формула (38) справедлива при любом расположении графиков функций при условии

Пример 5. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной кривыми осью ординат и прямой (рио. 184).

Решение. В данном примере Следовательно, по формуле (38) получим

В заключение рассмотрим пример на вычисление площади гуры, ограниченной линией, заданной параметрически.

Рис. 184

Рис. 185

Пример 6. Определить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды: (см. рис. 139).

Решение. Искомая площадь S равна . Сделаем в этом интеграле замену переменной, положив Тогда . На основании уравнений циклоиды Заметив, кроме того, что и при на найдем: