4. Понятие об обратной функции

Начнем с примера. Рассмотрим функцию график которой представлен на рис. 19. Будем рассматривать равенство как уравнение относительно Это уравнение для каждого значения определяет единственное значение

Рис. 120

Геометрически это значит, что всякая прямая, параллельная оси пересекает график функции только в одной точке (см. рис. 19). Поэтому мы можем рассматривать как функцию от у. Функция называется обратной по отношению к функции

Перейдем теперь к общему случаю. Рассмотрим непрерывную функцию заданную на сегменте или на интервале. Если функция такова, что всякая прямая, проведенная параллельно оси пересекает ее график только в одной точке (рис. 120), т. е. что уравнение для каждого у (взятого из области значений функции ) определяет единственное значение то мы можем сказать, что есть некоторая функция от у: (у), которая называется обратной по отношению к данной функции (см. рис. 120). Очевидно, что для функции обратной является функция Поэтому обе эти функции называются взаимно обратными.

Данная функция и ее обратная функция выражают одну и ту же связь между переменными и у. Но в первом случае мы рассматриваем как независимую переменную, а у как функцию; во втором случае — наоборот: у мы считаем независимой переменной, а —функцией.

Таким образом, одна и та же линия служит графиком для данной функции и для обратной функции (у). Однако, если для данной функции ось является осью независимой переменной, то для обратной функции осью независимой переменной является ось

Заметим, что некоторые функции не имеют обратных. Например, функция если ее рассматривать на всей числовой оси, не имеет обратной функции, так как каждому значению соответствуют два значения Если функцию рассматривать на интервале то она имеет обратную функцию так как каждому значению у соответствует единственное значение удовлетворяющее уравнению

Рис. 121

Если же функцию рассматривать на интервале то мы приходим к другой обратной функции . Естественно, возникает вопрос: какова должна быть функция чтобы она имела обратную функцию, т. е. чтобы ее график пересекался прямой, параллельной оси только в одной точке?

Прежде чем ответить на этот вопрос, введем понятие возрастающей и убывающей функций. Пусть функция определена на сегменте (или интервале).

Определение. Функция называется возрастающей на некотором сегменте (или интервале), если большим значениям независимой переменной (из этого сегмента или интервала) соответствуют большие значения функции, т. е. если то

Функция называется убывающей на некотором сегменте (или интервале), если большим значениям независимой переменной соответствуют меныиие значения функции, т. е. если то

На рис. 121 приведены графики возрастающей и убывающей функций. Например, функция является возрастающей на всей числовой оси; функция возрастает при убывает при

Если функция заданная на интервале (или сегменте), является только возрастающей или только убывающей на этом интервале (или сегменте), то она называется монотонной на интервале (или сегменте).

На рис. 121 непосредственно видно, что каждая прямая, параллельная оси пересекает график монотонной функции в одной точке, т. е. каждому значению у соответствует единственное значение и, следовательно, функция имеет обратную. Можно показать, что если функция непрерывна, то и обратная функция непрерывна.

Приведем без доказательства теорему существования обратной функции.

Теорема, Если функция непрерывна на сегменте и возрастает (или убывает) на этом сегменте, то обратная функция которая определена на соответствующем сегменте оси существует и является также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией.

Рис. 122

Рис. 123

Практически, чтобы найти для функции заданной с помощью формулы, обратную ей функцию нужно уравнение разрешить, если это возможно, относительно. Так, например, разрешая, относительно уравнение получим функцию обратную данной.

В заключение сделаем одно важное замечание.

Пусть функция является обратной по отношению к функции Возвращаясь к обычным обозначениям независимой переменной через а функции через у, мы можем эту обратную функцию записать в виде . Так, например, обратной функцией для будет функция или, меняя обозначения переменных,

График обратной функции симметричен с графиком данной функции относительно биссектрисы I и III координатных углов. В этом легко убедиться, рассматривая рис. 122.

На рис. 123 представлены графики функции и обратной функции