§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

1. Некоторые сведения о многочленах

В этом пункте мы кратко рассмотрим некоторые сведения о многочленах, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Корнем многочлена называют всякое число а (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль, т. е. такое, что . Так, например, для многочлена число является корнем, так как

Имеет место следующая теорема, которую принимаем без доказательства.

Всякий многочлен степени может быть представлен в виде произведения линейных множителей вида и постоянного числа - коэффициента при старшей степени , т. е.

Числа , очевидно, являются корнями многочлена

Пример 1. Легко проверить, что

Пример 2. Многочлен

Среди линейных множителей, на которые разложен многочлен, могут быть одинаковые. Объединяя в разложении (12) одинаковые сомножители, мы можем его записать в виде

где все корни а, b,..., l различны и .

Корень а многочлена для которого линейный множитель в разложении (12) встречается раз, называется корнем кратности Корень кратности единицы называется простым.

Так, например, многочлен имеет следующие корни: причем 2 есть корень кратности кратности 2; 5 — простой корень.

В алгебре доказывается, что если многочлен с действительными коэффициентами имеет корнем комплексное число кратности k, то сопряженное комплексное число также является корнем многочлена той же кратности.

Отсюда следует, что если в разложении многочлена на множители имеется множитель соответствующий комплексному корню то в этом разложении имеется множитель соответствующий сопряженному корню Перемножим эти два множителя, соответствующие сопряженным корням:

где

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами.

Все вышеизложенное позволяет высказать следующее окончательное предложение, с помощью которого удается избежать мнимых чисел при разложении многочлена на множители.

Всякий многочлен с действительными коэффициентами можно представить в следующей форме:

В этом разложении линейные множители соответствуют действительным корням, а квадратные трехчлены соответствуют комплексным корням многочлена. Постоянные действительные числа.