Главная > Математика > Краткий курс высшей математики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Одним из методов упрощения вычисления определенных интегралов был метод замены переменной. Точно так же введение новых переменных в двойных интегралах очень часто приводит к более экономным вычислениям. Мы ограничимся здесь наиболее важным для практических приложений частным случаем замены переменных, а именно, заменой декартовых координат х и у полярными координатами

Предположим, что нужно вычислить двойной интеграл от непрерывной функции по области а.

Рис. 238

Рис. 239

Как мы знаем, двойной интеграл является пределом интегральной суммы

причем этот предел не зависит ни от способа разбиения области о на части, ни от выбора в каждой малой площадке точки Отнесем область а к полярной системе координат, полюс которой совпадает с началом координат, а полярной осью служит ось

Осуществим специальное разбиение области интегрирования а на малые площадки с помощью лучей, выходящих из полюса и окружностей с общим центром в полюсе (рис. 238). Рассмотрим площадку ограниченную двумя лучами, выходящими из полюса и составляющими между собой угол и двумя окружностями радиусов (рис. 239, а). Площадь этого криволинейного четырехугольника найдем как разность площадей двух круговых секторов:

Обозначим через - средний радиус между т. е. . Тогда . В каждой малой площадке выберем по точке . При этом точку возьмем лежащей на окружности радиуса . Обозначим через полярный угол точки . Принимая во внимание, что декартовы координаты точки и ее полярные координаты связаны известными соотношениями получим на основании соотношения (9)

Следует заметить, что при составлении интегральной суммы площадки прилегающие к границе области могут оказаться срезанными и иметь площадь, меньшую, чем Однако можно доказать, что ошибка от такой замены в пределе сведется к нулю.

В правой части последнего равенства стоит предел интегральной суммы для функции по переменным Поэтому

Итак, мы приходим к следующей формуле:

(10)

Выражение называется элементом площади в полярных координатах.

С точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости, чем , оно дает площадь криволинейного четырехугольника, изображенного на рис. 239, б.

Формула (10) называется формулой преобразования двойного интеграла к полярным координатам.

Итак, для того чтобы преобразовать двойной интеграл к полярным координатам, нужно переменные х и у в подынтегральной функции заменить соответственно через а элемент площади заменить его выражением в полярных координатах: .

Для вычисления двойного интеграла применяют тоже правило сведения его к повторному интегралу, но только здесь роль переменных х и у играют Покажем, как это сделать. Предположим, что область 0 ограничена двумя лучами, выходящими из полюса под углами а и и двумя кривыми, уравнения которых в полярных координатах таковы:

Рис. 240

Проведем из полюса луч под углом . Этот луч встречает кривые соответственно в точках (рис. 240). Точку назовем точкой входа, а точку - точкой выхода. Для этой области интегрирования формула вычисления двойного интеграла имеет вид

Внутренний интеграл берется (при постоянном ) в границах от полярного радиуса точки входа до полярного радиуса точки выхода Результат этого интегрирования будет, вообще говоря, некоторой функцией от переменной которую затем нужно проинтегрировать в границах от а до (крайние значения аргумента ).

Если область интегрирования а имеет вид, изображенный на рис. 241, а (полюс принадлежит границе области), то для нее полярный радиус входа равен нулю: и, следовательно,

Если, наконец, область а содержит внутри себя начало координат и ограничена кривой (рис. 241, б), то очевидно, имеем

В частности, если замкнутая кривая — окружность радиуса R с центром в начале координат, то

Пример 1. Вычислить двойной интеграл где а есть круг радиуса 2 с центром в начале координат.

Рис. 241

Решение. Применяя формулу (10), получим

Применяя к этому интегралу формулу (14), найдем

Вычисление внутреннего интеграла дает:

поэтому

Итак,

Заметим, что вычисление этого же интеграла в декартовых координатах сопряжено с более громоздкими вычислениями.

Пример 2. Найти объем тела, вырезанного из шара радиуса R прямым круговым цилиндром диаметра R, образующая которого проходит через центр шара.

Решение. Поместим начало координат в центр шара, направив ось по образующей цилиндра, а ось — вдоль диаметра основания цилиндра. В силу симметрии тела относительно координатных плоскостей достаточно найти объем части тела, находящейся в первом октанте, и полученный результат учетверить (рис. 242).

Рис. 242

Рис. 243

Следовательно,

где — аппликата точек сферы, а — полукруг в плоскости радиуса у с центром в точке (рис. 243).

Так как уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат имеет вид то в первом октанте и, следовательно,

Переходя к полярным координатам, согласно формуле (10) получим

Замечая, что (см. рис. 243), по формуле (12) получим

Так как

то

Итак, искомый объем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление