6. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть две пересекающиеся в точке М прямые определяются соответственно уравнениями Найдем тангенс угла между этими прямыми (рис. 41).

Мы должны предположить, что данные прямые не перпендикулярны друг другу, так как иначе не существовал бы. Пусть прямая образует с осью абсцисс угол а прямая — угол Проведя через точку М, в которой пересекаются прямые прямую, параллельную оси увидим, что

или

Следовательно,

Но , поэтому

Таким образом, если две пересекающиеся прямые не перпендикулярны, то тангенс угла между ними находится по формуле (12). При этом угол отсчитывается в направлении от прямой к прямой

Рис. 41

Если прямые параллельны, или совпадают, то и, следовательно, т. е.

Обратно, если , то и, следовательно, прямые параллельны или совпадают. Условившись совпадающие прямые считать параллельными, мы приходим с следующему признаку параллельности прямых.

Необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Если прямые перпендикулярны, то формула (12) теряет смысл. Однако в этом случае можно рассматривать котангенс угла между прямыми:

В случае перпендикулярности прямых . Следовательно, откуда или

Можно показать, что и обратно, если выполняется равенство (14), то прямые перпендикулярны.

Таким образом, формула (14) выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

Пример. Определить, какие углы образуют с прямой прямые .

Решение. Приведем уравнения данных прямых к форме уравнений с угловым коэффициентом. Для этого разрешим каждое из них относительно у:

Мы видим, что угловые коэффициенты этих прямых соответственно равны Найдем по формуле (12) тангенс угла между первой и второй прямыми:

Следовательно, .

Третья прямая параллельна первой, так как угловые коэффициенты этих прямых равны: . Угол между двумя параллельными прямыми равен нулю.

Четвертая прямая перпендикулярна первой угол между ними равен у, так как угловые коэффициенты этих прямых удовлетворяют условию перпендикулярности прямых (14): .