§ 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

1. Параллельный перенос осей координат

Выше уже говорилось о том, что в некоторых случаях приходится одновременно рассматривать две системы координат на плоскости и решать следующую задачу: даны координаты точки в одной системе координат, требуется найти ее координаты в другой системе. Формулы, выражающие координаты точки в одной системе через ее координаты в другой системе, называются формулами преобразования координат.

Рис. 33

В § 3, п. 3 были получены формулы преобразования для декартовых и полярных координат. В этом пункте мы будем предполагать, что обе системы — декартовы (прямоугольные), причем одноименные оси этих систем параллельны и одинаково направлены. На рис. 33 изображены две такие системы Система может быть получена параллельным переносом осей Условимся называть координаты точек в системе старыми, а в системе — новыми. Пусть — координаты нового начала в старой системе. Предположим, что произвольно выбранная точка М на плоскости имеет старые координаты и у и новые координаты X и Y. Выведем формулы, выражающие старые координаты точки М через новые. Проектируя новое начало и точку М на ось , а также точку М на ось получим соответственно точки А, Р и N. Очевидно, Но так что

т. е. новая абсцисса X и разность равны по модулю. Нетрудно заметить, что и знаки этих величин одинаковы. В самом деле, если N лежит правее то Р расположено правее А, и обе величины X и положительны. Если же N находится левее , то Р — левее А и, следовательно, X и отрицательны. В обоих случаях

откуда

Аналогично получается формула для старой ординаты у. Таким образом, мы получили следующие формулы преобразования координат (параллельного переноса осей):

Пример. Дана точка М (2; —1) в системе Оху. Найти ее новые координаты X и Y при параллельном переносе осей, если новое начало в старой системе имеет координаты —1 и 3.

Решение. По формулам (18) получим

откуда