3. Производная интеграла по переменной верхней границе

Пусть - функция, непрерывная на сегменте . Рассмотрим интеграл При заданной подынтегральной функции значение интеграла зависит от обеих границ интегрирования . Если мы закрепим нижнюю границу а и будем изменять верхнюю границу , то интеграл будет функцией своей верхней границы. Чтобы подчеркнуть, что верхняя граница переменная, мы обозначим ее вместо b через Переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхней границей, обозначим через ясно, что значение интеграла от этого не изменится (см. замечание 3 в п. 1). Таким образом, интеграл с переменной верхней границей является некоторой функцией

Эта функция обладает замечательным свойством, выраженным в следующей теореме.

Теорема. Производная от интеграла по верхней границе равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхней границей:

Доказательство. Для нахождения производной функции дадим приращение Тогда новое значение функции будет равно

Следовательно, приращение функции при переходе из точки в точку окажется равным

Но, так как по свойству аддитивности

то

Применим к последнему интегралу теорему о среднем:

где с заключено между Таким образом, приращение функции равно

Согласно определению производной, имеем

Так как то а следовательно, и с стремятся к Согласно условию, подынтегральная функция непрерывна в точке L Поэтому

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема о производной интеграла по верхней границе является одной из основных теорем математического анализа. Эта теорема вскрывает глубокую связь между операциями определенного интегрирования и дифференцирования. Теорема о производной интеграла по верхней границе показывает, что функция является первообразной для Но интеграл существует для любого значения в силу теоремы существования определенного интеграла от непрерывной функции.

Таким образом, имеет место следующая теорема существования первообразной для непрерывной функции: всякая непрерывная функция имеет первообразные, одной из которых является интеграл

Рис. 179

Замечание 1. Исходя из геометрического смысла интеграла, как площади, замечаем, что выражает переменную площадь криволинейной трапеции с основанием (рис. 179). Следовательно, на основании только что изложенного, можно сказать, что эта переменная площадь является первообразной для ординаты линии, ограничивающей эту криволинейную трапецию.

Замечание 2. При функция — возрастающая, так как с возрастанием площадь криволинейной трапеции возрастает.