Главная > Математика > Краткий курс высшей математики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Метод трапеций

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

Разобьем сегмент интегрирования на равных малых сегментов точками деления: . Кроме того, положим Длина h каждого малого сегмента равна

Через точки деления проведем прямые, параллельные оси Пусть они пересекают кривую в точках

Заменим данную кривую вписанной в нее ломаной (рис. 208), соединив концы смежных ординат прямыми линиями.

Для наглядности будем предполагать, что на сегменте функция Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху построенной ломаной, даст нам приближенное значение интеграла

Эта площадь равна сумме площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху звеньями ломаной. Площадь каждой такой трапеции легко подсчитать. В самом деле, основаниями ее будут ординаты смежных точек деления а высотой — малый сегмент длина которого (см. рис. 208). Поэтому площадь такой трапеции равна , где

Рис. 208

Следовательно, площадь фигуры, ограниченной сверху ломаной

После очевидных преобразований получим

Таким образом, имеем приближенную формулу

Эта формула называется формулой трапеций.

Формула трапеций, выведенная в предположении, что остается справедливой для любой функции непрерывной на сегменте

Ясно, что с возрастанием числа точек деления точность, даваемая формулой трапеций, возрастает.

При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций обычно поступают следующим образом:

1) вычисляют значения интеграла при числе точек деления

2) сравнивают результаты вычислений и оставляют все первые совпадающие знаки.

Примера Вычислить интеграл с помощью формулы трапеций, полагая

Решение. Составляем таблицу значений подынтегральной функции при (табл. 1).

Таблица 1

По формуле (85) при получим

Теперь составим таблицу значений подынтегральной функции при (табл. 2).

Таблица 2

Применяя формулу (78) для случая получим

Сравнивая результаты обоих вычислений, видим, что после округлений совпадают первые два знака. Следовательно, за приближенное значение интеграла можно принять

Табличное значение данного интеграла с точностью до 0,00001 равно 0,84528.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление