§ 7. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ

1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции

Напомним приведенные в гл. V § 2 п. 4 определения возрастающей и убывающей функций.

Функция определенная на сегменте (или интервале), называется возрастающей на этом сегменте (или интервале), если из неравенства где и - любые две точки, принадлежащие сегменту (или интервалу), следует неравенство (см. рис. 121).

Введя обозначения замечаем, что имеют одинаковые знаки. Следовательно; для возрастающей функции отношение приращений функции и аргумента всегда положительно, т. е. .

Функция определенная на сегменте (или интервале), называется убывающей на этом сегменте (или интервале), если из неравенства , где - любые две точки, принадлежащие сегменту, следует неравенство (см. рис. 121).

В этом случае приращения имеют разные знаки и поэтому для убывающей функции отношение приращений отрицательно, т. е. .

Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции в интервале.

Теорема 1 (необходимое условие возрастания функции). Если дифференцируемая в интервале функция возрастает, то ее производная не может быть отрицательной ни в одной точке данного интервала, т. е. для

Доказательство. Пусть функция, возрастающая в интервале . Рассмотрим две точки принадлежащие интервалу . Тогда, как было указано выше, переходя к пределу при получим Так как по предположению функция дифференцируема, то и, следовательно,

Подобным же образом доказывается следующая теорема.

Теорема 2 (необходимое условие убывания функции). Если дифференцируемая в интервале функция убывает, то ее производная не может быть положительной ни в одной точке данного интервала, т. е. для

Рассмотренные теоремы можно наглядно иллюстрировать геометрически. Действительно, график возрастающей функции при движении вправо по оси абсцисс поднимается вверх. В таком случае касательные к графику образуют острые углы а с положительным направлением оси или, быть может, в некоторых точках (например, в точке ) параллельны оси (рис. 147, а).

Так как тангенсы острых углов положительны (а в тех точках, где касательные параллельны оси равны нулю) и так как по геометрическому смыслу производной то для возрастающей функции .

Аналогично, если функция убывает (рис. 147, б), то касательные образуют с осью тупые углы а, или в некоторых точках (например, в точке ) параллельны оси Так как тангенсы тупых углов отрицательны, то для убывающей функции

Теорема 3 (достаточное условие возрастания функции). Если непрерывная на сегменте функция в каждой внутренней точке этого сегмента имеет положительную производную, то эта функция возрастает на сегменте

Доказательство. Пусть для всех Рассмотрим два произвольных значения из сегмента , причем Напишем формулу Лагранжа (91) применительно к сегменту

Рис. 147

Во всех точках сегмента производная поэтому и в точке с Так как, кроме того, то произведение и, следовательно, Отсюда т. е. функция возрастает на сегменте

Подобным же образом доказывается следующая теорема.

Теорема 4 (достаточное условие убывания функции). Если непрерывная на сегменте функция в каждой внутренней точке этого сегмента имеет отрицательную производную, то эта функция убывает на сегменте

Напомним, что функция только возрастающая или только убывающая в каком-либо интервале называется монотонно возрастающей или монотонно убывающей в этом интервале (см. гл. V, § 2, п. 4).

Пример. Определить интервалы монотонности функции

Решение. Производная функции равна Функция возрастает для всех значений при которых Решая неравенство находим: или Таким образом функция возрастает в интервалах Убывает функция для значений при которых

Решая неравенство находим Функция убывает в интервале . График функции представлен на рис. 148.