6. Приложения двойного интеграла

В гл. VIII, § 3, п. 8 были рассмотрены общие принципы, лежащие в основе решения задач методом интегральных сумм. Эти принципы остаются в силе и при решении задач на приложение двойного интеграла. В самом деле, при решении задач, связанных с нахождением объема цилиндрического тела и массы плоской пластины, применялся один и тот же прием. Нахождение интересующей нас величины (которую мы обозначим через Q) приводило к нахождению предела интегральной суммы. В разобранных задачах искомая величина Q была связана с некоторой областью плоскости и функцией f(x, у), определенной в точках этой области. Кроме того, искомая величина обладала двумя свойствами: 1) свойством аддитивности и 2) свойством линейности в малом.

Свойство аддитивности. Разобьем область а на малые площадки . Каждой из этих малых площадок соответствует свое значение величины

Величину Q мы назовем аддитивной, если при любом разбиении области а на части имеет место равенство:

Так, например, масса всей области 0 равнялась сумме масс малых площадок

Свойство линейности в малом. Пусть Р — произвольно выбранная точка области а и площадка — малая часть 0, содержащая точку Р. Мы предполагаем, что величина соответствующая площадке , приблизительно пропорциональна ее площади

Отношение мало отличается от числа Это следует понимать в том смысле, что существует при условии, что площадка произвольным образом стягивается в точку Р. Каждой точке Р соответствует свое значение коэффициента т. е. k является некоторой функцией точки Р: Эта функция называется плотностью величины Q в точке Р.

Формулу (16) можно записать в виде

Покажем, что если искомая величина Q обладает свойствами 1) и 2), то ее нахождение сводится к вычислению двойного интеграла. Действительно:

1) разбивая область а на малых площадок мы в силу аддитивности величины Q имеем

2) в пределах каждой малой площадки величина в силу свойства (2) приблизительно пропорциональна т. е.

3) таким образом, для Q имеем следующее приближенное выражение:

Выражение, стоящее в правой части равенства (20), является интегральной суммой для функции

Точность приближенного равенства (20) повышается с уменьшением размеров площадки Переходя к пределу при неограниченном увеличении числа малых площадок и при стягивании каждой из них в точку, получим точное значение искомой величины

Выражение называют элементом искомой величины и обозначают через

Таким образом, если величина Q обладает свойствами 1) и 2), то ее можно найти как двойной интеграл от ее элемента:

Рассмотрим еще ряд задач, приводящих к двойному интегралу. Статические моменты; центр тяжести плоской фигуры. Статическим моментом относительно оси материальной точки , лежащей в плоскости и имеющей массу , называют произведение массы точки на ее ординату, т. е. . Аналогично определяют статический момент относительно оси

Если дана система, состоящая из нескольких материальных точек, то статический момент системы относительно оси координат определяют как сумму соответствующих статических моментов точек этой системы.

Пусть теперь в плоскости Оху задана материальная площадка поверхностная плотность которой в любой точке есть заданная функция координат этой точки:

Для нахождения статических моментов этой площадки поступим следующим образом.

Разобьем площадку а на малых площадок . В каждой малой площадке выберем произвольную точку Считая плотность в каждой малой площадке постоянной, равной плотности в выбранной точке получим приближенное выражений для массы этой площадки:

Заменим каждую малую площадку материальной точкой с массой . Статические моменты этой точки относительно осей дадут приближенные значения статических моментов площадки

Так как статический момент всей площадки равен сумме статических моментов малых площадок (по свойству аддитивности), то для получим следующие приближенные равенства:

За точное значение каждого из статических моментов принимаем предел соответствующей интегральной суммы, когда все малые площадки стягиваются в точки:

Замечание. Эту же задачу можно решить и так: в площадке о выделим «бесконечно малую» площадку столь малую, что ее положение характеризуется некоторой точкой принадлежащей площадке . Подсчитаем элемент статического момента элементарной площадки относительно оси считая, что вся масса площадки сосредоточена в точке

Так как , то . Взяв двойной интеграл от по площадке а, найдем

Аналогично

Как известно из механики, координаты у центра тяжести плоской материальной системы определяются равенствами:

где - масса системы, а S, и - статические моменты системы.

В частности, так как масса плоской площадки а равна (см. § 1, п. 2), то, применяя формулы (22) и (23), получим следующие выражения для координат центра тяжести плоской пластинки:

В частности, если пластинка однородная, то

Аналогично

Так как (см. § 1. п. 2, замечание), то

Пример 1. Найти координаты центра тяжести однородной площадки, ограниченной параболой и осью (рис. 244).

Решение. Так как фигура симметрична относительно оси то без вычислений ясно, что . Ординату у центра, тяжести подсчитаем по формуле (24).

Для этого найдем статический момент :

и определим площадь а:

Следовательно, по формуле (24)

Итак, координаты центра тяжести таковы:

Момент инерции. Моментом инерции материальной точки массы относительно оси называют произведение массы этой точки на квадрат ее расстояния до оси.

Рис. 244

Пусть теперь дана плоская материальная площадка плотность у которой есть заданная функция координат: . Найдем моменты инерции этой площадки относительно осей . Выделив малую площадку найдем элементы ее моментов инерции относительно координатных осей:

Взяв двойной интеграл от по площадке найдем искомые моменты инерции:

Пример 2. Найти момент инерции относительно оси однородной площадки примера 1, считая, что плотность

Решение. По формуле (25) имеем

Площадь поверхности. В гл. VIII решалась задача о вычислении площади поверхности вращения. Теперь решим более общую задачу: вычислить площадь части поверхности, заданной уравнением z=f(x,y).

Предварительно докажем лемму.

Лемма. Пусть а — площадь проекции плоской фигуры с площадью Q на некоторую плоскость. Тогда

где — острый угол между плоскостью проекции и плоскостью фигуры (рис. 245).

Как известно, формула (26) справедлива для треугольников. Так как любой плоский многоугольник можно разбить на несколько треугольников, то формула (26), очевидно, остается справедливой и для плоских многоугольников.

Рис. 245

Пусть теперь дана плоская фигура площади Q, ограниченная некоторой кривой. Так как ее площадь можно рассматривать как предел площадей вписанных в нее многоугольников, то формула (26), справедливая для многоугольников, будет справедлива и в пределе.

Перейдем теперь к вычислению площади S поверхности, заданной уравнением . При этом будем считать, что как сама функция , так и ее частные производные первого порядка непрерывны в области плоскости в которую проектируется поверхность

Разобьем область а на малых площадок Через обозначим ту часть поверхности S, которая проектируется в площадку Ясно, что

Рис. 246

Для того чтобы вычислить площадь поступим следующим образом: в каждой малой площадке выберем по точке

Точке соответствует на поверхности S точка аппликата которой . Проведем в точке касательную плоскость и рассмотрим ее кусок который проектируется в площадку (рис. 246). Площадь этой части касательной плоскости примем за приближенное значение площади куска поверхности

Таким образом, вся поверхность S «покроется» плоскигли пластинками сумма площадей которых дает приближенное значение площади поверхности:

За площадь поверхности S принимают, по определению, предел, к которому стремится сумма 2 когда число малых площадок , стремится к бесконечности и при этом каждая площадка - стягивается в точку:

Площадь найти легко. Так как является проекцией площадки то по формуле (26) имеем

где - острый угол между площадками . Угол между этими площадками равен углу между перпендикулярами к ним, т. е. углу между нормалью к поверхности в точке и осью Принимая во внимание выражение для (см. гл. IX, § 6, п. 4), получим

Следовательно,

Подставив это выражение в равенство (27), получим

Сумма, стоящая в правой части последнего равенства, есть интегральная сумма для функции . Так как в силу непрерывности частных производных эта функция непрерывна, то ее предел существует и равен двойному интегралу:

Итак, площадь S части поверхности , проектирующейся в площадку а плоскости вычисляется по формуле

Под знаком двойного интеграла стоит элемент площади поверхности

Пример 3. Вычислить площадь той части параболоида вращения которая вырезается цилиндром (рис. 247). Решение. Применяем формулу (28). Здесь тогда Следовательно, где а — круг радиуса 2 с центром в начале координат (см. рис. 247). Вычисление интеграла проводим в полярных координатах:

Рис. 247

Внутренний интеграл

Следовательно,