2. Геометрический смысл неопределенного интеграла

Пусть требуется найти кривую зная, что тангенс угла наклона касательной в каждой ее точке есть заданная функция абсциссы этой точки. Согласно геометрическому смыслу производной (см. гл. VI, § 1, п. 6), тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой равен значению производной Значит, нам нужно найти такую функцию для которой

Соотношение (6) показывает, что искомая функция является первообразной от Следовательно, задача свелась к основной задаче интегрального исчисления — к нахождению первообразной от данной функции.

Таким образом, или

Мы видим, что условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. Причем, если есть одна из таких кривых, то всякая другая может быть получена из нее параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 168).

Для того чтобы из данного семейства кривых выделить одну определенную кривую, нужно к условию задачи присоединить дополнительное условие, например потребовать, чтобы кривая проходила через данную точку Такое условие называется начальным.

Задание начального условия позволит выделить из семейства всех кривых вполне определенную, именно ту кривую, которая проходит через точку . Координаты этой точки должны удовлетворять уравнению искомой кривой . Из этого условия однозначно определяем

Пример. Через точку М (1; 2) провести кривую, у которой угловой коэффициент касательной в каждой точке с абсциссой равен

Решение. Имеем у Следовательно,

Итак, кривые, для которых в точках с абсциссой тангенс угла наклона касательной равен образуют семейство кубических парабол (рис. 169). Из этого семейства кривых нам нужно выбрать ту кривую, которая проходит через точку М (1; 2) (начальное условие).

Рис. 168

Рис. 169

Это дает откуда . Таким образом, уравнение искомой кривой будет у

Рассмотренная задача позволяет выяснить геометрический смысл неопределенного интеграла.

Назовем график первообразной функции от интегральной кривой. Таким образом, если , то график функции есть интегральная кривая.

Неопределенный интеграл геометрически представляется семейством всех интегральных кривых.

Все кривые из этого семейства могут быть получены из одной интегральной кривой параллельным сдвигом в направлении оси