4. Пучок плоскостей

Совокупность всех плоскостей, проходящих через заданную прямую L, называется пучком плоскостей, а прямая -осью пучка.

Пусть ось пучка задана уравнениями

Почленно умножим второе уравнение системы (35) на постоянную и сложим с первым уравнением:

Уравнение - первой степени относительно и, следовательно, при любом численном значении К определяет некоторую плоскость. Так как уравнение (36) есть следствие уравнений (35), то координаты точки, удовлетворяющие уравнениям (35), будут удовлетворять и уравнению (36). Следовательно, при любом численном значении X уравнение (36) есть уравнение плоскости, проходящей через прямую (35).

Покажем, что всякая плоскость пучка плоскостей с осью, заданной уравнениями (35), кроме плоскости может быть представлена в виде (36). Действительно, любая плоскость пучка определяется ее точкой не лежащей на оси пучка.

Чтобы найти уравнение этой плоскости, подставим в уравнение (36) координаты точки

(37)

Из уравнения (37) найдем значение если , т. е. если точка не лежит во второй из данных плоскостей (35). Подставляя найденное значение в уравнение (36), получим уравнение плоскости пучка, проходящей через точку

Итак, уравнение (36) при различных значениях дает уравнение любой плоскости пучка, ось которого задана уравнениями (35), кроме плоскости

Поэтому уравнение (36) называется уравнением пучка плоскостей. Уравнение пучка плоскостей используют при решении задач, в которых требуется найти плоскость, проходящую через заданную прямую, причем значение множителя X обычно находят из какого-либо дополнительного условия, которое определяет положение искомой плоскости.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую

и точку .

Решение. Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую:

Подставим в уравнение пучка координаты точки

Следовательно, Подставляя найденное значение в уравнение пучка, найдем уравнение искомой плоскости:

Пример 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости

Решение. Представляем данную прямую как пересечение ее проектирующих плоскостей:

Составляем уравнение пучка плоскостей:

или

Записываем условие перпендикулярности плоскости и данной плоскости

Решая это уравнение, находим . Подставляя найденное значение К в уравнение пучка получим

или