Главная > Математика > Краткий курс высшей математики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Формула Остроградского — Грина

Рассмотрим на плоскости Оху область а, ограниченную кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям, не более чем в двух точках (рис. 256). Пусть далее функции, непрерывные вместе со своими частными производными в области . Тогда имеет место следующая формула, называемая формулой Остроградского—Грина:

где двойной интеграл берется по области а, а криволинейный интеграл — вдоль замкнутого контура L, ограничивающего область

Рис. 256

При этом контур L проходится в положительном направлении, т. е. при движении вдоль него область а остается слева (см. рис. 256). Для вывода этой формулы рассмотрим вначале двойной интеграл

Пусть ( - уравнение дуги ) — уравнение дуги (см. рис. 256). Тогда по правилу вычисления двойного интеграла получим

Так как при постоянном есть одна из первообразных для , то

Поэтому

Интеграл как это следует из формулы (46) предыдущего пункта, равен криволинейному интегралу вдоль

Аналогично

Следовательно,

Изменив направление вдоль дуги на противоположное по свойству 1 криволинейного интеграла, имеем

Поэтому

Так как дуги дают в совокупности границу L области а, проходимую в положительном направлении, то, принимая во внимание свойство аддитивности, получим

Следовательно,

Аналогично доказывается, что

Вычитая почленно из равенства (48) равенство (47), получим формулу Остроградского—Грина

Эта формула выведена в предположении, что контур L пересекается прямыми, параллельными осями координат, не более чем в двух точках, однако, как можно показать, она остается справедливой, когда это условие не выполнено (например, для области а, изображенной на рис. 234).

Применим формулу Остроградского—Грина к вычислению площади плоской области с помощью криволинейного интеграла. Рассмотрим функции . Так как то, применяя формулу Остроградского—Грина, получим

или

Но интеграл численно равен площади области а. Поэтому окончательно имеем

Аналогично, полагая можно получить еще одну формулу для вычисления площади области с помощью криволинейного интеграла:

Эти формулы дают возможность с помощью криволинейного интеграла подсчитать площадь плоской области .

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом, заданным параметрическими уравнениями

Решение. Если обходить эллипс в положительном направлении, то параметр t изменяется от 0 до Применяя формулу (49) и правила вычисления криволинейного интеграла, получим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление