ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Функция двух переменных и ее область определения

До сих пор мы рассматривали функции, зависящие от одной переменной величины. В этой главе будут изучаться функции, зависящие от нескольких переменных. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Площадь S прямоугольника зависит от двух величин: его основания и высоты у. Эта зависимость выражается формулой

Каждой паре положительных значений х и у по формуле (1) соответствует определенное значение площади S. Говорят, что площадь S прямоугольника является функцией его основания х и высоты у.

Пример 2. Сила тока зависит по закону Ома от двух величин — напряжения U и сопротивления

Если предположить, что в некотором опыте U и R изменяются в определенных конечных границах, а именно

( — постоянные), то каждой паре значений U и R, удовлетворяющих неравенствам (3), по формуле (2) будет соответствовать определенное значение силы тока является функцией U и Обобщая эти примеры, приходим к следующему определению.

Определение. Переменная z называется функцией двух переменных х и у, если:

1) задано множество О пар численных значений х и у;

2) задан закон, по которому каждой паре чисел из этого множества соответствует единственное численное значение .

При этом переменные х и у называются аргументами или независимыми переменными. Обозначения функций двух переменных аналогичны обозначениям функций одной переменной:

При нахождении частного значения функции , которое она принимает при заданных численных значениях аргументов пишут или . Например, если , то

Определение. Множество G есех пар значений аргументов данной функции двух переменных называется областью определения (или областью задания) этой функции.

Читателю рекомендуется сравнить область определения G функции двух переменных с областью определения М функции одной переменной (см. гл. I, § 5, п. 2) и обратить внимание на то, что множество М состоит из действительных чисел а множество — из пар чисел .

Рис. 211

Рис. 212

Каждой паре чисел в плоскости соответствует точка . Поэтому часто пары чисел называют точками и говорят о функции двух переменных как о функции точки имеющей в плоскости координаты и у. Иногда и пишут вместо .

Области определения функции двух переменных G в плоскости соответствует некоторое множество точек. Это множество точек мы также будем называть областью определения функции двух переменных. Так, в примере 1, в котором рассматривалась площадь прямоугольника как функция основания и высоты у, областью определения G функции является множество точек первой четверти, так как только для этих точек обе координаты положительны (рис. 211). В примере 2 рассматривалась сила тока как функция напряжения U и сопротивления R, и предполагалось, что по условиям опыта

Областью определения G функции здесь служит прямоугольник, ограниченный прямыми (рис. 212). Точки этого прямоугольника (включая его границы) имеют координаты U и удовлетворяющие неравенствам (3); напротив, координаты точек, лежащих вне указанного прямоугольника, неравенствам (3) не удовлетворяют, и, следовательно, эти точки в область определения функции не входят.

Так же как и в случае функции одной переменной, способы задания функций двух переменных могут быть самыми различными.

Функция может быть задана с помощью таблицы (табличный способ задания функции). Для функции такая таблица (таблица с двойным входом) имеет, например, следующий вид:

В клетках левого столбца этой таблицы даются значения аргумента в клетках верхней строки — значения аргумента у. В остальных клетках таблицы даются значения функции . При этом, если значение выбирается в клетке строки, а значение у — в клетке столбца, то соответствующее значение помещается в клетке, лежащей на пересечении строки и столбца. Например, при имеем

Приведенная таблица соответствует значениям относительной влажности z (в процентах) в зависимости от температуры (в градусах по Цельсию) сухого термометра и разности температур у сухого и влажного термометров.

Самым важным в нашем курсе является аналитический способ задания, когда функция задается с помощью аналитического выражения (с помощью формулы). В рассмотренных выше примерах I и 2 функция задавалась аналитически, причем область задания в первом примере определялась из геометрических соображений, а во втором прпмере — из условий опыта. Однако часто функция двух переменных задается только с помощью формулы, и при этом область определения ее не указывается.

Если функция двух переменных задана с помощью аналитического выражения без каких-либо дополнительных условий, то областью ее определения принято считать множество таких точек плоскости для которых это выражение имеет смысл и дает действительное значение функции.

Например, многочлен 1-й степени многочлен 2-й степени и т. д. определены для всех пар чисел , т. е. во всей плоскости

Рациональная функция двух переменных, т. е. отношение двух многочленов относительно х и у, определена во всех точках плоскости за исключением тех точек, в которых знаменатель обращается в нуль. Так, рациональная функция определена на всей плоскости за исключением прямой Приведем еще примеры на нахождение областей определения функций.

Пример 3. Найти область определения функции

Решение. Функция задана только с помощью формулы. Областью определения этой функции является множество всех тех точек, для которых выражение определено, т. е. множество точек, для которых или Так как выражение представляет собой квадрат расстояния точки от начала коордииат, то в область определения данной функции войдут только те точки, расстояние которых от начала координат меньше единицы.

Рис. 213

Рис. 214

Множество таких точек образует внутренность круга с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

Пример 4, Найти область определения функции

Решение. Функция определена при условии

которое равносильно условию

Граничными линиями области определения являются окружности

которые также принадлежат этой области.

Таким образом, область определения функции состоит из точек, лежащих между окружностями и точек, лежащих на этих окружностях (рис. 213).