2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим теперь уравнение

в котором коэффициенты по-прежнему некоторые числа и правая часть известная функция.

Как было показано выше (§ 3, п. 3), общее решение уравнения (65) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Метод нахождения общего решения однородного уравнения с постоянными коэффициентами (59) подробно рассмотрен в предыдущем пункте. Для нахождения частного решения неоднородного уравнения (65) можно применить метод вариации постоянных, изложенный в п. 4 предыдущего параграфа. Этот метод применим, вообще говоря, к любой правой части. Однако для уравнений с постоянными коэффициентами, правые части которых имеют специальный вид, существует более простой способ нахождения частного решения. Этот способ называется методом подбора формы частного решения. Не приводя выводов, укажем форму, в которой следует искать частное решение в зависимости от вида правой части дифференциального уравнения.

I. Правая часть уравнения

В этом случае частное решение у следует искать в виде

Здесь - многочлен той же степени, что и многочлен , но с неизвестными коэффициентами, а — число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример 1. Найти общее решение уравнения Решение. Здесь характеристическое уравнение имеет корни . Соответственно этому общее решение однородного уравнения имеет вид

Так как правая часть уравнения является многочленом первой степени и так как один из корней характеристического уравнения равен нулю , то частное решение, согласно формуле (66), надо искать в виде

Подберем коэффициенты А и В таким образом, чтобы у было решением данного уравнения. Для этого подставим выражения для у в данное уравнение:

Отсюда

или

Полученное равенство является тождеством, поэтому коэффициенты одинаковых степенях в обеих частях равенства должны быть

Таким образом, получаем следующую систему уравнений

из которой находим

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид а общее решение

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составив характеристическое уравнение , найдем его корни . Поэтому соответствующее однородное уравнение имеет следующее общее решение: Так как правая часть уравнения является многочленом второй степени и так как ни один корень характеристического уравнения не равен нулю, то частное решение надо искать в форме

Находим производные Подставляя их в данное дифференциальное уравнение, получим

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях придем к системе уравнений

решая которую, находим: . Таким образом, частное решение , а общее решение

II. Правая часть уравнения . Здесь - многочлен степени , а коэффициент а в показателе — действительное число.

В этом случае частное решение у следует искать в виде

Здесь - многочлен той же степени, что и многочлен , но с неизвестными коэффициентами, а — число корней характеристического уравнения, совпадающих с коэффициентом в показателе а.

Замечание. При имеет место I случай, так как

Пример 3. Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни: Общее решение уравнения без правой части имеет вид

Так как среди корней характеристического уравнения имеется только один корень , то и частное решение у следует искать в виде

Находим у" и

Подставляя выражения в уравнение и сокращая на множитель , получаем тождество

После приведения подобных членов и группировки находим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему уравнений

из которой находим и

Подставляя найденные значения А и В в выражение для у, найдем частное решение уравнения

Общее решение уравнения находится как сумма общего решения Y уравнения без правой части и частного решения у уравнения

III. Правая часть уравнения , где М, N и b - заданные числа.

В этом случае частное решение у следует искать в виде

где А и В — неизвестные коэффициенты, а равно числу корней характеристического уравнения, совпадающих с

Пример 4. Найти общее решение уравнения

и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид (см. формулу )

Так как не является корнем характеристического уравнения, то и частное решение надо искать в форме

Дифференцируя, находим

Подставляя выражения для в данное неоднородное дифференциальное уравнение, получим

Группируя и приводя подобные члены, имеем

Написанное равенство является тождеством. Поэтому коэффициенты при в левой и правой частях равенства должны быть равны. Приравнивая эти коэффициенты, получим систему уравнений для определения А и В

Из этой системы находим

Таким образом, частное решение имеет вид , а общее решение уравнения

Для выделения частного решения используем заданные начальные условия: . Так как

то

Отсюда

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

Пример 5. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение однородного уравнения имеет вид Правая часть данного дифференциального уравнения принадлежит к рассматриваемому типу, так как ее можно представить в виде . Заметим, кроме того, что совпадает с одним из корней характеристического уравнения и, следовательно, . Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

Дифференцируя и подставляя в уравнение, последовательно получим

После приведения подобных членов получим

Отсюда

или . Таким образом, и общее решение неоднородного уравнения запишется в виде

В заключение приведем теорему, которая часто применяется при решении линейных уравнений.

Теорема. Если есть частное решение уравнения

есть частное решение уравнения

с одной и той же левой частью, то сумма будет частным решением уравнения

Доказательство. Подставив в левую часть уравнения (71) сумму получим на основании равенств (69) и (70)

Таким образом, действительно, есть решение уравнения (71).

Пример 6. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения запишется следующим образом: (см. формулу 63).

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения рассмотрим два вспомогательных уравнения:

и находим для каждого из них частные решения у, и Частнсе решение уравнения ищем в виде , так как число корней характеристического уравнения, совпадающих с коэффициентом в показателе, равно

Дифференцируя и подставляя в уравнение найдем

Сокращая обе части равенства на множитель приводя подобные члены, получим и, следовательно,

Частное решение уравнения ищем в виде . Так как то, подставляя в уравнение находим

Отсюда Таким образом,

На основании предыдущей теоремы частное решение уравнения (72)

Общее решение этого уравнения запишется в виде