§ 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

Применим изложенную выше теорию определителей к решению систем уравнений первой степени.

1. Система двух уравнений с двумя неизвестными

Рассмотрим истему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными х и у:

В обозначении коэффициента первый индекс означает номер уравнения, а второй индекс — номер неизвестного.

Решим эту систему. Для этого почленно умножим первое уравнение на второе на и сложим полученные уравнения:

Аналогично, почленно умножая первое уравнение на второе на и складывая, получим

Но на основании формулы (2) (см. § 1, п. 1) можно написать

Сокращенно эти определители будем обозначать так:

Определитель А, составленный из коэффициентов при неизвестных системы (19), называется определителем системы. Определитель А (или ) получается из определителя системы А, если в нем коэффициенты при неизвестном (или у) заменить свободными членами

Принимая во внимание (22), равенства (20) и (21) можно записать в виде:

Здесь возможны два случая.

1. Определитель системы Тогда поделив обе части каждого из уравнений (23) на А, найдем:

или в развернутом виде

Формулы (24) (или 25), называемые формулами Крамера, дают решение системы (19). (Рекомендуем это проверить.)

Итак, если определитель А системы (19) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам (24) или (25).

II. Определитель системы . В этом случае коэффициенты при неизвестных одного уравнения пропорциональны коэффициентам при неизвестных другого уравнения. Действительно, предположим, что один из них, например, и обозначим , откуда . Тогда из равенства найдем, что . Учитывая это, систему (19) можно записать в виде

Здесь возможны два подслучая.

1) Оба определителя равны нулю: . Отсюда находим, что (так как ). В этом случае числа пропорциональны числам и система (19) может быть записана в виде

Таким образом, второе уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на X, т. е. является следствием первого уравнения. В этом случае, очевидно, система (19) имеет бесчисленное множество решений. Задавая, например, произвольное значение у, получим соответствующее значение

2) Хотя бы один из определителей или не равен нулю. Пусть, например, . Тогда и, следовательно, . В этом случае, как видно из (26), второе из уравнений противоречит первому уравнению . Следовательно, система (19) не имеет решения (или, как говорят, несовместна).

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить систему

Решение. Здесь

Так как определитель системы , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам (24):

Геометрически это означает, что прямые, заданные уравнениями пересекаются в точке (см. гл. II, § 1, п. 5.) Пример 2. Решить систему

Решение. Здесь

Второе уравнение получается из первого умножением обеих частей первого уравнения на Поэтому система равносильна одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений.

Придавая произвольные значения неизвестному у, найдем Так, например, если , то если , то и т. д.

Геометрически это означает, что уравнениям соответствует одна и та же прямая.

Пример 3. Решить систему

Решение. Здесь

Следовательно, данная система несовместна, т. е. не имеет решений. В этом убеждаемся и непосредственно.

Умножая почленно обе части первого уравнения на и складывая со вторым уравнением, приходим к противоречивому равенству . Геометрически это означает, что прямые параллельны и, следовательно, не имеют общих точек.