§ 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ

1. Скалярное поле и его геометрическое изображение

Определение. Скалярным полем называется часть пространства (или все пространство), каждой точке Р которой соответствует численное значение некоторой скалярной величины и.

Например, неоднородное тело, каждой точке которого соответствует определенное значение плотности, можно рассматривать как скалярное поле. Другими примерами скалярных полей являются поле распределения температуры в данном теле, поле распределения электрического потенциала и т. д. Во всех случаях мы будем предполагать, что скалярная величина и не зависит от времени, а зависит только от положения точки Р в пространстве. Иными словами, величина и рассматривается как функция точки . Эта функция называется функцией поля. Если в пространстве ввести систему координат , то точка Р в этой системе будет иметь определенные координаты , и скалярная величина и станет функцией этих координат:

Обратно, всякая функция трех переменных задает некоторое скалярное поле.

Скалярные поля часто изображаются геометрически с помощью так называемых поверхностей уровня.

Определение. Поверхностью уровня (или эквипотенциальной поверхностью) скалярного поля называется геометрическое место точек пространства, в которых функция поля и имеет одно и то же значение С.

Уравнение поверхности уровня имеет вид

Придавая С различные значения, получим семейство поверхностей уровня.

Например, если поле задано функцией и то поверхностями уровня будут сферы

с центром в начале координат.

Если скалярным полем является поле распределения температуры в некоторой части пространства, то поверхностями уровня этого поля будут так называемые изотермические поверхности, т. е. поверхности, на каждой из которых температура постоянна.

Наряду со скалярными полями в пространстве рассматриваются также плоские скалярные поля. Плоское скалярное поле определяется как часть плоскости (или вся плоскость), каждой точке Р которой соответствует численное значение скалярной величины . Функция плоского скалярного поля зависит от двух переменных: .

Плоские скалярные поля изображаются геометрически с помощью линий уровня. Линия уровня определяется как геометрическое место точек плоскости, в которых функция плоского скалярного поля имеет одно и то же значение. Для функции плоского скалярного поля уравнение линии уровня имеет следующий вид:

где

Например, для плоского скалярного поля, заданного функцией , линиями уровня являются равносторонние гиперболы (рис. 221). При получим или . Это значит, что асимптоты гипербол (биссектрисы координатных углов) также относятся к числу линий уровня рассматриваемого поля.

Рис. 221