4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка

Покажем, как с помощью преобразований квадратичных форм можно упростить общее уравнение кривой второго порядка

Если это уравнение не содержит члена с произведением координат, т. е. коэффициент то, дополняя члены, содержащие х и у, до полных квадратов, мы можем привести уравнение (135) к каноническому виду (см. гл. II, § 2, п. 10).

Пусть теперь в уравнении (135) коэффициент . В этом случае для приведения уравнения к виду, не содержащему члена с произведением координат, поступаем следующим образом.

Рассматривая квадратичную форму составленную из старших членов левой части уравнения (135), приводим ее методами, изложенными в предыдущем пункте, к сумме квадратов. При этом общее уравнение кривой второго порядка (135) преобразуется к виду, в котором будет отсутствовать член с произведением координат.

Пример. Привести к каноническому виду общее уравнение кривой второго порядка

Решение. Квадратичная форма, составленная из старших членов данного уравнения, имеет вид

Здесь матрица

Составляем характеристическое уравнение (132):

Корни этого уравнения . Квадратичная форма в новой системе координат запишется, согласно формуле (128), в виде

Найдем матрицу перехода от старой системы координат Оху к новой Оху. Для этого составим системы уравнений (130), (131):

или

Каждая из этих систем сводится к одному уравнению. Первая система к уравнению , а вторая — к уравнению .

Согласно п. 2, матрица L ортогональна. Поэтому должны иметь место равенства:

Так как в то же время находим

или, выбирая для определенности перед корнем знак «плюс», получим

Итак, формулы преобразования координат в данном случае принимают вид

Найдем теперь, какой вид в новой системе координат примут младшие члены общего уравнения кривой:

Рис. 80

Таким образом, в новой системе координат уравнение линии запишется в виде

или

Выделяя в членах, содержащих полный квадрат, получим

Таким образом, данная линия является эллипсом, центр которого в новой системе координат находится в точке Для того чтобы установить расположение эллипса относительно старой системы координат, надо определить положение новых осей относительно старой системы. Для этого достаточно установить углы между ортами старой системы и новой системы координат.

Согласно формулам (112)

Следовательно, углы, которые оси новой системы образуют с осями старой, таковы:

Расположение осей и эллипса приведено на рис. 80.