2. Двойной интеграл. Теорема существования

Задачи в п. 1 привели нас к рассмотрению сумм определенного вида. Составление этих сумм было связано с некоторой областью а (на плоскости ) и с заданной в ней непрерывной функцией. К нахождению предела таких сумм приводят многочисленные физические и технические задачи. Поэтому желательно изучить свойства пределов таких сумм в общем виде, независимо от той или иной конкретной физической задачи.

Итак, пусть в области плоскости задана функция

Выполним следующие действия.

1. Разобьем область 0 на малых площадок (см. рис. 229) так, чтобы сумма площадей малых площадок была равна площади всей области .

2. В каждой малой площадке выберем произвольную точку Умножим значение функции в точке на

3. Составим сумму всех таких произведений:

Сумма вида (4) называется интегральной суммой, составленной для функции двух переменных .

4. Рассмотрим предел интегральной суммы (4) при неограниченном увеличении числа малых площадок и при стягивании каждой из них в точку. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области 0 на малые площадки ни от выбора в каждой из них точек то он называется двойным интегралом от функции по области 0 и обозначается так:

Таким образом,

или в другой записи

Здесь подразумевается, что при каждая из малых площадок стягивается в точку; а называется областью интегрирования, функция называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - элементом площади. Итак, мы имеем следующее определение.

Определение. Двойным интегралом от функции по области а называется предел, к которому стремится интегральная сумма (4) при неограниченном увеличении числа малых площадок и при условии, что каждая из них стягивается в точку.

Возвращаясь теперь к задачам об объеме и массе, мы видим, что объем цилиндрического тела численно равен двойному интегралу от аппликаты , взятому по области а:

В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Масса плоской пластинки а с плотностью равна двойному интегралу от плотности:

Замечание. Если подынтегральная функция то значение двойного интеграла численно равно площади области интегрирования:

Действительно, в этом случае любая интегральная сумма имеет

и численно равна площади области а. Так как предел интегральной суммы тоже равен а, то

Существование двойного интеграла, т. е. предела интегральной суммы для кажется очевидным, так как этот предел дает объем цилиндрического тела. Однако это рассуждение не является строгим. В более полных курсах это утверждение строго доказывается и носит название теоремы существования двойного интеграла.

Рис. 230

Теорема существования. Для всякой функции , непрерывной в ограниченной замкнутой области, имеющей площадь а, существует двойной интеграл, т. е. существует предел интегральных сумм при неограниченном увеличении числа малых площадок при условии, что каждая из них стягивается в точку. Этот предел не зависит ни от способа разбиения области а на части ни от выбора точек

В дальнейшем мы будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования.

Из теоремы существования следует, что мы можем, например, разбить область а на малые прямоугольники со сторонами прямыми, параллельными осям координат (рис. 230). При этом . Выбирая затем в каждом малом прямоугольнике по точке мы можем написать, согласно определению двойного интеграла

Для того чтобы подчеркнуть, что двойной интеграл можно получить как предел суммы вида вместо обозначения употребляют также обозначение

Итак,

Выражение называется элементом площади в декартовых координатах и равно площади прямоугольника со сторонами параллельными координатным осям.

Заметим, что при составлении интегральной суммы площадки прилегающие к границе области а, не имеют формы прямоугольников. Однако можно доказать, что ошибка от замены таких площадок прямоугольниками с площадями в пределе сведется к нулю.