6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения

Круговым конусом называется поверхность, которая получится при вращении прямой вокруг другой прямой (оси вращения), пересекающей данную прямую. При этом вращающаяся прямая в любом своем положении называется образующей конуса, а точка пересечения прямой с осью вращения называется вершиной конуса. Конус имеет две полости, отделяемые друг от друга его вершиной.

Рис. 52

Окружность, эллипс, гипербола и парабола могут быть получены сечениями кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. (Доказательство этого мы опускаем.) Поэтому эти кривые называются коническими сечениями.

Если плоскость перпендикулярна оси конуса, то в сечении получится окружность.

Если плоскость не перпендикулярна оси, пересекает лишь одну полость конуса и не параллельна ни одной из его образующих, то в сечении получится эллипс.

Если плоскость пересекает одну полость конуса параллельно какой-нибудь одной его образующей, то в сечении получится парабола.

Наконец, если плоскость пересекает обе полости конуса, то в сечении получится гипербола (рис. 52).

Кривые второго порядка имеют большое применение в различных областях науки и техники. Приведем некоторые примеры.

1. Известно, что планеты солнечной системы движутся по эллипсам, имеющим общий фокус, в котором расположено солнце.

2. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то снаряд, выпущенный под углом к горизонту, описывает параболу.

3. Если в фокусе параболы поместить источник света, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно ее оси. На этом свойстве основано устройство прожектора.

4. Как доказывается в механике, ракета, запущенная с поверхности земли под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью (вторая космическая скорость), будет двигаться по параболе, неограниченно удаляясь от поверхности земли. При начальной скорости ракета также будет неограниченно удаляться от поверхности земли, двигаясь уже по гиперболе. Наконец, при начальной скорости ракета, двигаясь по эллипсу, либо упадет снова на землю, либо станет искусственным спутником Земли.