7. Асимптоты графика функции

При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат или, как говорят, при удалении его переменной точки в бесконечность.

Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат

Рассмотрим отдельно случаи асимптот, параллельных оси Оу и не параллельных оси

Асимптоты, параллельные оси Оу. Пусть при функция неограниченно возрастает по абсолютной величине, т. е. . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая является асимптотой (рис. 158). Очевидно и обратное, если прямая является асимптотой, то .

Таким образом, для отыскания асимптот графика функции параллельных оси надо найти те значения при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда асимптота, параллельная оси имеет уравнение

Пример 1, Найти асимптоту графика функции параллельную оси Оу.

Решение. Так как , то прямая х будет асимптотой.

Пример 2. Найти асимптоты графика функции парад» лельные оси

Решение. Так как то график этой функции имеет бесчисленное множество асимптот:

Асимптоты, не параллельные оси Пусть график функции имеет асимптоту, не параллельную оси Тогда уравнение такой асимптоты имеет вид (в частном случае коэффициент может равняться нулю — горизонтальная асимптота).

Рис. 158

Рис. 159

Для определения k и b поступим следующим образом. Опустим из точки М графика функции на асимптоту перпендикуляр MN (рис. 159).

Из определения асимптоты следует, что при х — длина Из треугольника имеем: наклона асимптоты к оси . Так как а постоянно, то стремится к нулю одновременно с MN, т. е.

Так как

то

Из (97) следует, что разность, стоящая в квадратных скобках, есть бесконечно малая функция при .

Делим последнее равенство почленно на и переходим к пределу!

Так как , то имеем

Отсюда угловой коэффициент асимптоты

Определим теперь b. Так как

то

Переходя к пределу при получим

Здесь k находится по формуле (98).

Таким образом, для нахождения асимптоты, не параллельной оси надо найти пределы (98) и (99). Можно показать, что и обратно, если пределы (98) и (99) существуют, то прямая есть асимптота.

Если хотя бы один из этих пределов не существует, то график функции асимптоты при не имеет.

Аналогично находятся асимптоты при . Заметим, что пределы вида (98) и (99) могут быть различными при т. е. график функции может иметь две различные асимптоты, не параллельные оси при

Пример 3. Найти асимптоты графика функции . Решение. Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Следовательно, асимптот, параллельных оси график не имеет.

Находим асимптоты, не параллельные оси Оу.

Итак, уравнение асимптоты при

Уравнение асимптоты при

Рис. 160

Таким образом, график функции имеет две различные асимптоты, не параллельные оси

График функции показан на рис. 160.