Обозначим далее через а и b абсциссы крайних сечений тела . Для вычисления объема V тела поступим следующим образом: разобьем сегмент на частей точками
и через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные оси
Рис. 186
Эти плоскости рассекут тело на слоев (рис. 187). Обозначим объем слоя, заключенного между плоскостями, проведенными через точки через . Тогда или
Рассмотрим один из слоев, образованный сечениями с абсциссами и
Рис. 187
Его объем приближенно равен объему прямого цилиндра, высота которого равна длине отрезка т. е. а основание совпадает с поперечным сечением тела, соответствующим какой-либо абсциссе где ; (см. рис. 187) и, следовательно, имеет площадь
Объем такого цилиндра равен, как и объем кругового цилиндра, произведению площади основания на высоту: Таким образом, Поэтому для объема нашего тела получим следующее приближенное равенство:
Точность этого приближенного равенства увеличивается с уменьшением шага разбиения К отрезка Поэтому точное значение объема получим, устремляя шаг разбиения к нулю. Итак,
Сумма есть интегральная сумма для функции Поэтому
Следовательно,
В этой формуле означает площадь поперечного сечения, а а и b — абсциссы крайних точек сечения тела.
Рис. 188
Пример. Определить объем тела, ограниченного эллипсоидом
Решение. Пересекая эллипсоид плоскостью получим эллипс
Следовательно (см. п. 1, пример 2), площадь сечения .