Главная > Математика > Краткий курс высшей математики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ

1. Задача о площади

В элементарной геометрии рассматривались площади плоских фигур, ограниченных прямолинейными отрезками, а также площадь круга и его частей. Поставим задачу о вычислении площади плоской фигуры К, ограниченной произвольной замкнутой линией (рис. 170).

Вначале рассмотрим частный случай, когда фигура К лежит в плоскости и ограничена кривой АВ, отрезком CD оси абсцисс и двумя прямыми СА и DB, проведенными в концах отрезка параллельно оси (рис. 171).

Назовем эту фигуру криволинейной трапецией, а отрезок CD — ее основанием.

Рис. 170

Рис. 171

Предположим, что точки С и D имеют абсциссы соответственно а и b и что кривая АВ относительно выбранной системы координат задана уравнением где — непрерывная и положительная на сегменте функция.

Разобьем сегмент на части с помощью точек деления с абсциссами

Кроме того, для единообразия записи положим . Точки деления разбивают сегмент [а, b] на малых сегментов:

Проведя через точки деления прямые, параллельные оси Оу, мы разобьем криволинейную трапецию на малых криволинейных трапеций (рис. 172). Ясно, что площадь всей криволинейной тралеции равна сумме площадей всех малых криволинейных трапеций.

Поэтому если обозначить через S площадь всей криволинейной трапеции, а через - площадь малой криволинейной трапеции с основанием принимает значения от 1 до ), то

или, в более короткой записи,

где буква (сигма) есть знак суммы, а символ 2 означает, что суммируются слагаемых при изменении индекса i от 1 до

Рис. 172

Но вычислить площади этих малых трапеций так же трудно, как и площадь большой. Поэтому мы поступим следующим образом! в каждом из малых сегментов выберем произвольную точку и построим в этой точке ординату кривой (см. рис. 172 и 173).

Рис. 173

Заменим теперь каждую малую криволинейную трапецию с основанием прямоугольником с тем же основанием и с высотой, равной (см. рис. 173).

Площадь этого прямоугольника равна

так как - длина малого сегмента Приняв площадь этого прямоугольника за приближенное значение площади малой криволинейной трапеции, получим

Заменив площадь каждой малой криволинейной трапеции площадью прямоугольника с тем же основанием, но с высотой, равной ординате кривой в некоторой произвольной точке основания, получим ступенчатую фигуру, показанную на рис. 172. Площадь этой ступенчатой фигуры дает нам приближенное значение площади криволинейной трапеции. Поэтому для площади S криволинейной трапеции получаем следующее приближенное равенство

или в более короткой записи,

Обозначим через X наибольшую из длин малых сегментов!

С уменьшением точность приближенной формулы (4) увеличивается. Поэтому вполне естественно за точное значение площади S криволинейной трапеции принять предел суммы площадей ступенчатых фигур при условии, что наибольшая длина Я малых сегментов стремится к нулю. Таким образом,

(5)

Рис. 174

Если, кроме того, обозначить то формула (5) примет следующий окончательный вид:

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции привело нас к нахождению предела некоторой суммы вида (6).

Возвращаясь к задаче о вычислении площади плоской области К, ограниченной произвольной замкнутой линией, заметим, что эта задача может быть сведена к задаче нахождения криволинейных трапеций. Например, на рис. 174 площадь области, ограниченной контуром можно найти как разность площадей криволинейных трапеций

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление