4. Метод вариации произвольных постоянных

В предыдущем пункте было показано, что для нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения достаточно знать общее решение соответствующего однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения.

Сейчас мы покажем, как находится частное решение неоднородного уравнения, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (44)

Пусть - общее решение соответствующего однородного уравнения, где частные решения, образующие фундаментальную систему. Заменим в общем решении постоянные некоторыми функциями Подберем эти функции так, чтобы

было решением уже неоднородного уравнения (44). Функция у, определенная равенством (51), должна быть решением уравнения (44). Поэтому при подстановке в уравнение (44) должно получиться тождество.

Продифференцируем у по получим

Мы ввели две новых неизвестных функции . Для их определения надо составить два уравнения. В качестве одного из этих уравнений примем следующее:

Тогда выражение (52) для у упростится и примет вид

Дифференцируя это равенство еще раз, найдем

Подставляя выражение для в уравнение (44), получим

или, группируя члены,

Так как функции являются решениями однородного уравнения, то имеют место тождества

Поэтому равенство (55) принимает вид

или

Уравнение (56) является вторым уравнением, которому должны удовлетворять функции

Таким образом, объединяя уравнения (53) и (56), для функций получим систему уравнений

Из системы уравнений (57) можно найти единственные значения для так как определитель системы

как определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений . Определив интегрированием находим и затем по формуле (51) составляем частное решение.

Пример. Найти частное решение уравнения

Решение. В примере 1 п. 2 мы установили, что уравнение в качестве фундаментальной системы частных решений имеет функции Поэтому частное решение данного неоднородного уравнения на основании формулы (51) запишется в виде

Система (57) для нахождения в данном случае будет иметь вид

Решая эту систему относительно находим

Подобным же образом находим Интегрируя, получаем

Пр оизвольных постоянных мы не пишем, так как ищем частное решение. Подставляя эти выражения в равенство (51), получим частное решение у данного неоднородного уравнения

Замечание. Найдя частное решение у неоднородного уравнения и зная фундаментальную систему частных решений соответствующего однородного уравнения, мы можем написать общее решение неоднородного уравнения (см. п. 3, формула (50)) или